为了让学生更多的了解“数学史”知识，某中学高二年级举办了一次“追寻先哲的足迹，倾听数学的声音”的数学史知识竞赛活动，共有
名学生参加了这次竞赛．为解本次竞赛的成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分均为整数，满分为
分）进行统计．请你根据频率分布表，解答下列问题：
（Ⅰ）填充频率分布表中的空格（在解答中直接写出对应空格序号的答案）；
序号（ ） |
分组（分数） |
组中值 |
频数（人数） |
频率 |
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① |
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② |
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③ |
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④ |
⑤ |
| 合计 |
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（Ⅱ）为鼓励更多的学生了解“数学史”知识，成绩不低于分的同学能获奖，请估计在参加的名学生中大概有多少同学获奖？
（Ⅲ）在上述统计数据的分析中有一项计算
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见算法流程图，求输出
的值．
设
，曲线
在点
处的切线与直线
垂直.
(1)求
的值；
(2)若对于任意的
，
恒成立，求
的范围；
(3)求证：
如图，分别过椭圆
：
左右焦点
、
的动直线
相交于
点，与椭圆
分别交于
不同四点，直线
的斜率
、
、
、
满足
．已知当
轴重合时，
，
．
（1）求椭圆
的方程；
（2）是否存在定点
，使得
为定值．若存在，求出
点坐标并求出此定值，若不存在，说明理由．
数列
的前n项和记为
点
在直线
上，
．（1）若数列
是等比数列，求实数
的值；
（2）设各项均不为0的数列
中，所有满足
的整数
的个数称为这个数列的“积异号数”，令
（
），在（1）的条件下，求数列的“积异号数”
如图，四棱锥
的底面
是平行四边形，
，
，
面
，设
为
中点，点
在线段
上且
．
（1）求证：
平面
；
（2）设二面角
的大小为
，若
，求
的长．
某煤矿发生透水事故时，作业区有若干人员被困．救援队从入口进入之后有
两条巷道通往作业区(如下图)，
巷道有
三个易堵塞点，各点被堵塞的概率都是
；
巷道有
两个易堵塞点，被堵塞的概率分别为
．
（1）求巷道中，三个易堵塞点最多有一个被堵塞的概率；
（2）若巷道中堵塞点个数为
，求的分布列及数学期望
，并按照＂平均堵塞点少的巷道是较好的抢险路线＂的标准，请你帮助救援队选择一条抢险路线，并说明理由．
