如图，已知椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\left(a>b>0\right)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点 $F_1,F_2$ 为顶点的三角形的周长为 $4\left(\sqrt{2}+1\right)$ .一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设 $P$ 为该双曲线上异于顶点的任一点，直线 $P{F}_1$ 和 $P{F}_2$ 与椭圆的交点分别为 $A,B$ 和 $C,D$ .

（Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程；
（Ⅱ）设直线 $P{F}_1$ 、 $P{F}_2$ 的斜率分别为 $k_1$ 、 $k_2$ ，证明 $k_1{k}_2=1$ ；
（Ⅲ）是否存在常数 $\lambda$ ，使得 $\left|AB\right|+\left|CD\right|=\lambda \left|AB\right|·\left|CD\right|$ 恒成立？若存在，求 $\lambda$ 的值；若不存在，请说明理由.

科目 数学   题型 解答题   难度 较易