如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，E,F分别是棱BC-优题课

如图，在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E, F$ 分别是棱 $B C, C C_{1}$ 上的点， $C F = A B = 2 C E, A B : A D : A A_{1} = 1 : 2 : 4$ .

（1）求异面直线 $E F$ 与 $A_{1} D$ 所成角的余弦值；
（2）证明 $A F ⊥$ 平面 $A_{1} E D$ ;

（3）求二面角 $A_{1} - E D - F$ 的正弦值.

科目数学题型解答题难度中等

为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了 $100$ 天空气中的 $PM 2 . 5$ 和 $S O_{2}$ 浓度（单位： $μ g/ m^{3}$ ），得下表：

（1）估计事件"该市一天空气中 $PM 2 . 5$ 浓度不超过 $75$ ，且 $S O_{2}$ 浓度不超过 $150$ "的概率；

（2）根据所给数据，完成下面的 $2 \times 2$ 列联表：

$S O_{2}$

$PM 2 . 5$

$[0, 150]$

$(150, 475]$

$[0, 75]$

$(75, 115]$

（3）根据（2）中的列联表，判断是否有 $99 %$ 的把握认为该市一天空气中 $PM 2 . 5$ 浓度与 $S O_{2}$ 浓度有关？

附： $K^{2} = \frac{n (ad - bc)^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，

$P (K^{2} \geq k)$	0.050	0.010	0.001
$k$	3.841	6.635	10.828

已知公比大于 $1$ 的等比数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{2} + a_{4} = 20, a_{3} = 8$ ．

（1）求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

（2）求 $a_{1} a_{2} - a_{2} a_{3} + \dots + (- 1)^{n - 1} a_{n} a_{n + 1}$ .

在① $ac = \sqrt{3}$ ，② $c \sin A = 3$ ，③ $c = \sqrt{3} b$ 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求 $c$ 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．

问题：是否存在 $△ ABC$ ，它的内角的对边分别为 $a, b, c$ ，且 $\sin A = \sqrt{3} \sin B$ ， $C = \frac{π}{6}$ ，________?

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球．现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复n次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为X_n，恰有2个黑球的概率为p_n，恰有1个黑球的概率为q_n．

（1）求p₁·q₁和p₂·q₂；

（2）求2p_n+q_n与2p_n-₁+q_n-₁的递推关系式和X_n的数学期望E(X_n)(用n表示) ．

在三棱锥 A- BCD中，已知 CB= CD= $\sqrt{5}$ , BD=2， O为 BD的中点， AO⊥平面 BCD， AO=2， E为 AC的中点．

（1）求直线 AB与 DE所成角的余弦值；

（2）若点 F在 BC上，满足 BF= $\frac{1}{4}$ BC，设二面角 F- DE- C的大小为 θ，求sin θ的值．