已知曲线 $C_n:y=n{x}^2$,点 $P_n\left(x_n,y_n\right)\left(x_n>0,y_n>0\right)$是曲线 $C_n$上的点 $\left(n=1,2,\cdots \right)$.
（1）试写出曲线 $C_n$在点 $P_n$处的切线 $l_n$的方程，并求出 $l_n$与 $y$轴的交点 $Q_n$的坐标；
（2）若原点 $O\left(0,0\right)$到 $l_n$的距离与线段 $P_n{Q}_n$的长度之比取得最大值，试求试点 $P_n$ $\left(x_n,y_n\right)$；
（3）设 $m$与 $k$为两个给定的不同的正整数， $x_n$与 $y_n$是满足（2）中条件的点 $P_n$的坐标，证明： $\underset{n=1}{\overset{s}{\sum }}\left|\sqrt{\frac{\left(m+1\right)x_n}{2}}-\sqrt{\left(k+1\right)y_k}\right|<\left|\sqrt{ms}-\sqrt{ks}\right|\left(s=1,2,\cdots \right)$

科目 数学   题型 解答题   难度 较难