.(本小题满分15分)
某校举行环保知识大奖赛，比赛分初赛和决赛两部分，初赛采用选手选一题答一题的方式进行，每位选手最多有5次选题答题的机会，选手累计答对3题或答错3题即终止其初赛的比赛，答对3题者直接进入决赛，答错3题者则被淘汰，已知选手甲回答每个问题的正确率相同，并且答题相互之间没有影响，且连续两次答错的概率为
.
(1)求选手甲回答一个问题的正确率； (2)求选手甲进入决赛的概率；
(3)设选手甲在初赛中答题的个数为ξ，试写出ξ的分布列，并求ξ的数学期望.
在平面直角坐标系
中,
.
(1)求以线段
为邻边的平行四边形的两条对角线的长;
(2)设实数
满足
,求的值.
（本小题满分14分）
已知数列
,
,
（Ⅰ）求数列的通项公式
；
（Ⅱ）当
时,求证:
（Ⅲ）若函数
满足：
求证：
（本小题满分13分）
已知函数
．
（Ⅰ）求函数
的极大值；
（Ⅱ）若
对满足
的任意实数
恒成立，求实数
的取值范围（这里
是自然对数的底数）；
（Ⅲ）求证：对任意正数
、
、
、
，恒有
．
（本小题满分12分）
某工厂去年的某产品的年销售量为100万只，每只产品的销售价为10元，每只产品固定成本为8元．今年，工厂第一次投入100万元（科技成本），并计划以后每年比上一年多投入100万元（科技成本），预计销售量从今年开始每年比上一年增加10万只，第n次投入后，每只产品的固定成本为
（k＞0，k为常数，
且n≥0），若产品销售价保持不变，第n次投入后的年利润为
万元．
（Ⅰ）求k的值，并求出的表达式；
（Ⅱ）若今年是第1年，问第几年年利润最高?最高利润为多少万元?
（本小题满分12分）
已知数列
满足
，
，
（Ⅰ）设
的通项公式；
（Ⅱ）求
为何值时，
最小（不需要求的最小值）