（本小题满分14分）已知函数，，且.（1）试求所满足的关系式-优题课

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题文

（本小题满分14分）
已知函数，，且.
（1）试求所满足的关系式；
（2）若，方程有唯一解，求的取值范围.

科目数学题型解答题难度较易

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【选修4-1：几何证明选讲】

如图，直线 $A B$ 为圆的切线，切点为 $B$ ，点 $C$ 在圆上， $∠ A B C$ 的角平分线BE交圆于点 $E$ ， $D B$ 垂直 $B E$ 交圆于 $D$ .

（Ⅰ）证明： $D B = D C$ ；
（Ⅱ）设圆的半径为1， $B C = \sqrt{3}$ ，延长 $C E$ 交 $A B$ 于点 $F$ ，求 $△ B C F$ 外接圆的半径.

已知函数 $f (x) = x^{2} + a x + b, g (x) = e^{x} (c x + d)$ ，若曲线 $y = f (x)$ 和曲线 $y = g (x)$ 都过点 $P (0, 2)$ ，且在点 $P$ 处有相同的切线 $y = 4 x + 2$ .

（Ⅰ）求 $a, b, c, d$ 的值
（Ⅱ）若 $x \geq - 2$ 时， $f (x) \leq k g (x)$ ，求 $k$ 的取值范围。

已知圆 $M : (x + 1)^{2} + y^{2} = 1$ ，圆 $N : (x - 1)^{2} + y^{2} = 9$ ，动圆 $P$ 与圆 $M$ 外切并与圆 $N$ 内切，圆心 $P$ 的轨迹为曲线 $C$ .
（Ⅰ）求 $C$ 的方程；
（Ⅱ）l是与圆 $P$ ，圆 $M$ 都相切的一条直线，l与曲线 $C$ 交于 $A, B$ 两点，当圆 $P$ 的半径最长时，求 $|A B|$ .

一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为 $n$ 。如果 $n$ =3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果 $n$ =4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验。
假设这批产品的优质品率为50%，即取出的产品是优质品的概率都为，且各件产品是否为优质品相互独立
（1）求这批产品通过检验的概率；
（2）已知每件产品检验费用为100元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为 $X$ （单位：元），求 $X$ 的分布列及数学期望。

如图，三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中 $C A = C B$ ， $A B = A A_{1}$ ， $∠ B A A_{1} = 60^{°}$ .

（Ⅰ）证明 $A B ⊥ A_{1} C$ ;
（Ⅱ）若平面 $A B C ⊥$ 平面 $A A_{1} B_{1} B$ ， $A B = C B$ ，求直线 $A_{1} C$ 与平面 $B B_{1} C_{1} C$ 所成角的正弦值。

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