（本小题满分12分）已知函数恰有一个极大值点和一个极小值点，-优题课

已知直三棱柱 $ABC - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，侧面为正方形， $AB = BC = 2$ ，E，F分别为 $AC$ 和 $C C_{1}$ 的中点，D为棱 $A_{1} B_{1}$ 上的点． $BF ⊥ A_{1} B_{1}$

（1）证明： $BF ⊥ DE$ ；

（2）当 $B_{1} D$ 为何值时，面 $B B_{1} C_{1} C$ 与面 $DFE$ 所成的二面角的正弦值最小?

已知数列 $\{a_{n}\}$ 的各项均为正数，记 $S_{n}$ 为 $\{a_{n}\}$ 的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．

①数列 $\{a_{n}\}$ 是等差数列：②数列 $\{\sqrt{S_{n}}\}$ 是等差数列；③ $a_{2} = 3 a_{1}$ ．

注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．

甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表：

（1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少?

（2）能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异?

附： $K^{2} = \frac{n (ad - bc)^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$

$P (K^{2} \geq k)$	0.050	0.010	0.001
k	3.841	6.635	10.828

已知 $a > 0$ , 函数 $f (x) = ax - x e^{x}$ .

(1) 求曲线 $f (x)$ 在点 $(0, f (0))$ 处的切线方程.

(2) 证明: $f (x)$ 存在唯一的极值点.

(3) 若存在 $a$ , 使得 $f (x) ⩽ a + b$ 对任意 $x \in R$ 成立, 求实数 $b$ 的取值范围.

已知数列 $\{a_{n}\}$ 是公差为 2 的等差数列, 其前 8 项的和为 64 . 数列 $\{b_{n}\}$ 是公比大于 0 的等比数列, $b_{1} = 4$ , $b_{3} - b_{2} = 48$

(1)求数列 $\{a_{n}\}$ 和 $\{b_{n}\}$ 的通项公式.

$(2)$ 记 $c_{n} = b_{2 n} + \frac{1}{b_{n}} (n \in N^{*})$ .

(1) 证明: $\{c_{n}^{2} - c_{2}\}$ 是等比数列.

(2) 证明: $\sum_{k = 1}^{n} \sqrt{\frac{a_{k} a_{k + 1}}{c_{k}^{2} - c_{2 k}}} < 2 \sqrt{2} (n \in N^{*})$ .