已知集合 $A=\left\{a_1,a_2,\dots ,a_k\right\}\left(k\ge 2\right)$，其中 $a_i\in Z\left(i=1,2,\dots ,k\right)$，由 $A$中的元素构成两个相应的集合： $S=\left\{\overline{)\left(a,b\right)}a\in A,b\in A,a+b\in A\right\}$， $T=\left\{\overline{)\left(a,b\right)}a\in A,b\in A,a-b\in A\right\}$．其中是有序数对，集合 $S$和 $T$中的元素个数分别为 $m$和 $n$．若对于任意的 $a\in A$，总有 $-a\notin A$，则称集合 $A$具有性质 $P$．
（I）检验集合 $\left\{0,1,2,3\right\}$与 $\left\{-1,2,3\right\}$是否具有性质 $P$并对其中具有性质 $P$的集合，写出相应的集合 $S$和 $T$；
（II）对任何具有性质 $P$的集合 $A$，证明： $n\le \frac{k\left(k-1\right)}{2}$；
（III）判断 $m$和 $n$的大小关系，并证明你的结论．

科目 数学   题型 解答题   难度 较难