已知某几何体的三视图如下图所示,其中左视图是边长为2的正三角形,主视图是矩形且,俯视图中
分别是所在边的中点,设
为
的中点.
(1)求其体积;(2)求证:;
(3)边上是否存在点
,使
?若不存在,说明理由;若存在,请证明你的结论.
已知函数.
(1)当且
时,证明:
;
(2)若对,
恒成立,求实数
的取值范围;
(3)当时,证明:
.
如图所示,已知、
、
是长轴长为
的椭圆
上的三点,点
是长轴的一个端点,
过椭圆中心
,且
,
.
(1)求椭圆的方程;
(2)在椭圆上是否存点
,使得
?若存在,有几个(不必求出
点的坐标),若不存在,请说明理由;
(3)过椭圆上异于其顶点的任一点
,作圆
的两条线,切点分别为
、
,,若直线
在
轴、
轴上的截距分别为
、
,证明:
为定值.
已知正项数列满足:
,数列
的前
项和为
,且满足
,
.
(1)求数列和
的通项公式;
(2)设,数列
的前
项和为
,求证:
.
如图,四棱锥的底面是正方形,侧棱
底面
,过
作
垂直
交
于
点,作
垂直
交
于
点,平面
交
于
点,且
,
.
(1)设点是
上任一点,试求
的最小值;
(2)求证:、
在以
为直径的圆上;
(3)求平面与平面
所成的锐二面角的余弦值.
图是某市月
日至
日的空气质量指数趋势图,空气质量指数(
)小于
表示空气质量优良,空气质量指数大于
表示空气重度污染,某人随机选择
月
日至
月
日中的某一天到达该市,并停留
天.
(1)求此人到达当日空气质量重度污染的概率;
(2)设是此人停留期间空气重度污染的天数,求
的分布列与数学期望.