（本小题满分14分）在平面直角坐标系中，已知点其中．（1）若-优题课

已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左焦点为 $F$ ，右顶点为 $A$ ， $P$ 为 $x = a$ 上一点，且直线 $PF$ 的斜率为 $\frac{1}{3}$ ， $△ PFA$ 的面积为 $\frac{3}{2}$ ，离心率为 $\frac{1}{2}$ .

（1）求椭圆的方程；

（2）过点 $P$ 的直线与椭圆有唯一交点 $B$ （异于点 $A$ ），求证： $P F$ 平分 $∠ AFB$ .

正方体 $ABCD - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为 $4$ ， $E 、 F$ 分别为 $A_{1} D_{1}, C_{1} B_{1}$ 中点， $CG = 3 G C_{1}$ ．

（1）求证： $GF ⊥$ 平面 $FBE$ ；

（2）求平面 $FBE$ 与平面 $EBG$ 夹角的余弦值；

（3）求三棱锥 $D - FBE$ 的体积．

在 $△ ABC$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ．已知 $a \sin B = \sqrt{3} b \cos A$ ， $c - 2 b = 1$ ， $a = \sqrt{7}$ ．

（1）求 $A$ 的值；

（2）求 $c$ 的值；

（3）求 $\sin (A + 2 B)$ 的值．

在直角坐标系 $x O y$ 中，点 $P$ 到 $x$ 轴的距离等于点 $P$ 到点 $(0, \frac{1}{2})$ 的距离，记动点 $P$ 的轨迹为 $W$ ．

（1）求 $W$ 的方程；

（2）已知矩形 $A B C D$ 有三个顶点在 $W$ 上，证明：矩形 $A B C D$ 的周长大于 $3 \sqrt{3}$ ．

甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为 $0.6$ ，乙每次投篮的命中率均为 $0.8$ ．由抽签确定第 $1$ 次投篮的人选，第 $1$ 次投篮的人是甲、乙的概率各为 $0.5$ ．

（1）求第 $2$ 次投篮的人是乙的概率；

（2）求第 $i$ 次投篮的人是甲的概率；

（3）已知：若随机变量 $X_{i}$ 服从两点分布，且 $P (X_{i} = 1) = 1 - P (X_{i} = 0) = q_{i}$ ， $i = 1, 2, . . ., n$ 则 $E ({\sum X_{i}}_{i = 1}^{n}) = {\sum q_{i}}_{i = 1}^{n}$ ．记前 $n$ 次（即从第 $1$ 次到第 $n$ 次投篮）中甲投篮的次数为 $Y$ ，求 $E (Y)$ ．