如图，⊙O的半径等于1，弦AB和半径OC互相平分于点M.求扇-优题课

如图，抛物线 $y = a x^{2} + 6 ax (a$ 为常数， $a > 0)$ 与 $x$ 轴交于 $O$ ， $A$ 两点，点 $B$ 为抛物线的顶点，点 $D$ 的坐标为 $(t$ ， $0) (- 3 < t < 0)$ ，连接 $BD$ 并延长与过 $O$ ， $A$ ， $B$ 三点的 $⊙ P$ 相交于点 $C$ ．

（1）求点 $A$ 的坐标；

（2）过点 $C$ 作 $⊙ P$ 的切线 $CE$ 交 $x$ 轴于点 $E$ ．

①如图1，求证： $CE = DE$ ；

②如图2，连接 $AC$ ， $BE$ ， $BO$ ，当 $a = \frac{\sqrt{3}}{3}$ ， $∠ CAE = ∠ OBE$ 时，求 $\frac{1}{OD} - \frac{1}{OE}$ 的值．

已知抛物线 $y = - 2 x^{2} + (b - 2) x + (c - 2020) (b$ ， $c$ 为常数）．

（1）若抛物线的顶点坐标为 $(1, 1)$ ，求 $b$ ， $c$ 的值；

（2）若抛物线上始终存在不重合的两点关于原点对称，求 $c$ 的取值范围；

（3）在（1）的条件下，存在正实数 $m$ ， $n (m < n)$ ，当 $m ⩽ x ⩽ n$ 时，恰好 $\frac{m}{2 m + 1} ⩽ \frac{1}{y + 2} ⩽ \frac{n}{2 n + 1}$ ，求 $m$ ， $n$ 的值．

根据相似多边形的定义，我们把四个角分别相等，四条边成比例的两个凸四边形叫做相似四边形．相似四边形对应边的比叫做相似比．

（1）某同学在探究相似四边形的判定时，得到如下三个命题，请判断它们是否正确（直接在横线上填写"真"或"假" $)$ ．

①四条边成比例的两个凸四边形相似； $($ 　　命题）

②三个角分别相等的两个凸四边形相似； $($ 　　命题）

③两个大小不同的正方形相似． $($ 　　命题）

（2）如图1，在四边形 $ABCD$ 和四边形 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $∠ ABC = ∠ A_{1} B_{1} C_{1}$ ， $∠ BCD = ∠ B_{1} C_{1} D_{1}$ ， $\frac{AB}{A_{1} B_{1}} = \frac{BC}{B_{1} C_{1}} = \frac{CD}{C_{1} D_{1}}$ ．求证：四边形 $ABCD$ 与四边形 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 相似．

（3）如图2，四边形 $ABCD$ 中， $AB / / CD$ ， $AC$ 与 $BD$ 相交于点 $O$ ，过点 $O$ 作 $EF / / AB$ 分别交 $AD$ ， $BC$ 于点 $E$ ， $F$ ．记四边形 $ABFE$ 的面积为 $S_{1}$ ，四边形 $EFCD$ 的面积为 $S_{2}$ ，若四边形 $ABFE$ 与四边形 $EFCD$ 相似，求 $\frac{S_{2}}{S_{1}}$ 的值．

近日，长沙市教育局出台《长沙市中小学教师志愿辅导工作实施意见》，鼓励教师参与志愿辅导，某区率先示范，推出名师公益大课堂，为学生提供线上线下免费辅导，据统计，第一批公益课受益学生2万人次，第三批公益课受益学生2.42万人次．

（1）如果第二批，第三批公益课受益学生人次的增长率相同，求这个增长率；

（2）按照这个增长率，预计第四批公益课受益学生将达到多少万人次？

如图，正方形 $ABCD$ ，点 $E$ ， $F$ 分别在 $AD$ ， $CD$ 上，且 $DE = CF$ ， $AF$ 与 $BE$ 相交于点 $G$ ．

（1）求证： $BE = AF$ ；

（2）若 $AB = 4$ ， $DE = 1$ ，求 $AG$ 的长．