如图，抛物线yax2bx4与x轴的两个交点分别为A（

如图，抛物线y = ax²+ bx + 4与x轴的两个交点分别为A（－4，0）、B（2，0），与y轴交于点C，顶点为D．E（1，2）为线段BC的中点，BC的垂直平分线与x轴、y轴分别交于F、G．

（1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D的坐标；
（2）在直线EF上求一点H，使△CDH的周长最小，并求出最小周长；
（3）若点K在x轴上方的抛物线上运动，当K运动到什么位置时，
△EFK的面积最大？并求出最大面积．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：二次函数在给定区间上的最值

如图，在▱ABCD中，AC，BD交于点O，点E，F在AC上， $A E ＝ C F$ ．

（1）求证：四边形EBFD是平行四边形；

（2）若 $∠ B A C ＝ ∠ D A C$ ，求证：四边形EBFD是菱形．

下面是证明三角形内角和定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明．

三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于 $180 °$ ．

已知：如图，△ABC，求证： $∠ A + ∠ B + ∠ C ＝ 180 °$ ．

方法一

证明：如图，过点A作 $D E ∥ B C$ ．

方法二

证明：如图，过点C作 $C D ∥ A B$ ．

已知 $x^{2} + 2 x ﹣ 2 ＝ 0$ ，求代数式 $x （ x + 2 ） + （ x + 1 ）^{2}$ 的值．

如图1，隧道截面由抛物线的一部分AED和矩形ABCD构成，矩形的一边BC为12米，另一边AB为2米．以BC所在的直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系 $x O y$ ，规定一个单位长度代表1米．E $（ 0 ， 8 ）$ 是抛物线的顶点．

（1）求此抛物线对应的函数表达式；

（2）在隧道截面内（含边界）修建“”型或“”型栅栏，如图2、图3中粗线段所示，点 $P_{1} ， P_{4}$ 在x轴上，MN与矩形 $P_{1} P_{2} P_{3} P_{4}$ 的一边平行且相等．栅栏总长l为图中粗线段 $P_{1} P_{2} ， P_{2} P_{3} ， P_{3} P_{4} ，$ MN长度之和，请解决以下问题：

（ⅰ）修建一个“”型栅栏，如图2，点 $P_{2} ， P_{3}$ 在抛物线AED上．设点P₁的横坐标为 $m （ 0 ＜ m \leq 6 ）$ ，求栅栏总长l与m之间的函数表达式和l的最大值；

（ⅱ）现修建一个总长为18的栅栏，有如图3所示的“”型和“”型两种设计方案，请你从中选择一种，求出该方案下矩形 $P_{1} P_{2} P_{3} P_{4}$ 面积的最大值，及取最大值时点P₁的横坐标的取值范围（P₁在P₄右侧）．

已知四边形ABCD中， $B C ＝ C D$ ，连接BD，过点C作BD的垂线交AB于点E，连接DE．

（1）如图1，若 $D E ∥ B C$ ，求证：四边形BCDE是菱形；

（2）如图2，连接AC，设BD，AC相交于点F，DE垂直平分线段AC．

（ⅰ）求∠CED的大小；

（ⅱ）若 $A F ＝ A E$ ，求证： $B E ＝ C F$ ．