数学课上，李老师出示了这样一道题目：如图，正方形的边长为，为-优题课

数学课上，李老师出示了这样一道题目：如图，正方形的边长为，为边延长线上的一点，为的中点，的垂直平分线交边于，交边的延长线于.当时，与的比值是多少？
经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：过作直线平行于交，分别于，，如图，则可得：，因为，所以.可求出和的值，进而可求得与的比值.

(1) 请按照小明的思路写出求解过程.
(2) 小东又对此题作了进一步探究，得出了的结论.你认为小东的这个结论正确吗？如果正确，请给予证明；如果不正确，请说明理由.

科目数学题型解答题难度中等

知识点：圆内接四边形的性质

一只羽毛球的重量合格标准是5.0克 $~ 5.2$ 克（含5.0克，不含5.2克），某厂对4月份生产的羽毛球重量进行抽样检验，并将所得数据绘制成如图统计图表．

4月份生产的羽毛球重量统计表

组别	重量 $x$ （克 $)$	数量（只 $)$
$A$	$x < 5.0$	$m$
$B$	$5.0 ⩽ x < 5.1$	400
$C$	$5.1 ⩽ x < 5.2$	550
$D$	$x ⩾ 5.2$	30

（1）求表中 $m$ 的值及图中 $B$ 组扇形的圆心角的度数．

（2）问这些抽样检验的羽毛球中，合格率是多少？如果购得4月份生产的羽毛球10筒（每筒12只），估计所购得的羽毛球中，非合格品的羽毛球有多少只？

如图，点 $E$ 是 $▱ ABCD$ 的边 $CD$ 的中点，连结 $AE$ 并延长，交 $BC$ 的延长线于点 $F$ ．

（1）若 $AD$ 的长为2，求 $CF$ 的长．

（2）若 $∠ BAF = 90 °$ ，试添加一个条件，并写出 $∠ F$ 的度数．

（1）计算： $\sqrt{8} - 4 \cos 45 ° + {(- 1)}^{2020}$ ．

（2）化简： ${(x + y)}^{2} - x (x + 2 y)$ ．

[性质探究]

如图，在矩形 $ABCD$ 中，对角线 $AC$ ， $BD$ 相交于点 $O$ ， $AE$ 平分 $∠ BAC$ ，交 $BC$ 于点 $E$ ．作 $DF ⊥ AE$ 于点 $H$ ，分别交 $AB$ ， $AC$ 于点 $F$ ， $G$ ．

（1）判断 $ΔAFG$ 的形状并说明理由．

（2）求证： $BF = 2 OG$ ．

[迁移应用]

（3）记 $ΔDGO$ 的面积为 $S_{1}$ ， $ΔDBF$ 的面积为 $S_{2}$ ，当 $\frac{S_{1}}{S_{2}} = \frac{1}{3}$ 时，求 $\frac{AD}{AB}$ 的值．

[拓展延伸]

（4）若 $DF$ 交射线 $AB$ 于点 $F$ ，[性质探究]中的其余条件不变，连结 $EF$ ，当 $ΔBEF$ 的面积为矩形 $ABCD$ 面积的 $\frac{1}{10}$ 时，请直接写出 $\tan ∠ BAE$ 的值．

如图1，在平面直角坐标系中， $ΔABC$ 的顶点 $A$ ， $C$ 分别是直线 $y = - \frac{8}{3} x + 4$ 与坐标轴的交点，点 $B$ 的坐标为 $(- 2, 0)$ ，点 $D$ 是边 $AC$ 上的一点， $DE ⊥ BC$ 于点 $E$ ，点 $F$ 在边 $AB$ 上，且 $D$ ， $F$ 两点关于 $y$ 轴上的某点成中心对称，连结 $DF$ ， $EF$ ．设点 $D$ 的横坐标为 $m$ ， $E F^{2}$ 为 $l$ ，请探究：

①线段 $EF$ 长度是否有最小值．

② $ΔBEF$ 能否成为直角三角形．

小明尝试用“观察 $-$ 猜想 $-$ 验证 $-$ 应用”的方法进行探究，请你一起来解决问题．

（1）小明利用“几何画板”软件进行观察，测量，得到 $l$ 随 $m$ 变化的一组对应值，并在平面直角坐标系中以各对应值为坐标描点（如图 $2)$ ．请你在图2中连线，观察图象特征并猜想 $l$ 与 $m$ 可能满足的函数类别．

（2）小明结合图1，发现应用三角形和函数知识能验证（1）中的猜想，请你求出 $l$ 关于 $m$ 的函数表达式及自变量的取值范围，并求出线段 $EF$ 长度的最小值．

（3）小明通过观察，推理，发现 $ΔBEF$ 能成为直角三角形，请你求出当 $ΔBEF$ 为直角三角形时 $m$ 的值．