(本小题12分)如图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，M-优题课

某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路的山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为 $l_{1}, l_{2}$ ，山区边界曲线为 $C$ ，计划修建的公路为l，如图所示， $M$ ， $N$ 为 $C$ 的两个端点，测得点 $M$ 到 $l_{1}, l_{2}$ 的距离分别为5千米和40千米，点 $N$ 到 $l_{1,} l_{2}$ 的距离分别为20千米和2.5千米，以 $l_{1}, l_{2}$ 所在的直线分别为 $x$ ， $y$ 轴，建立平面直角坐标系 $x o y$ ，假设曲线 $C$ 符合函数 $y = \frac{a}{x^{2} + b}$ （其中 $a$ ， $b$ 为常数）模型.

（1）求 $a$ ， $b$ 的值；
（2）设公路l与曲线 $C$ 相切于 $P$ 点， $P$ 的横坐标为 $t$ .
①请写出公路l长度的函数解析式 $f (t)$ ，并写出其定义域；
②当 $t$ 为何值时，公路l的长度最短？求出最短长度.

如图,在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中,已知 $A C ⊥ B C, B C = C C_{1}$ ,设 $A B_{1}$ 的中点为 $D$ , $B_{1} C \cap B C_{1} = E$ .

求证:

（1） $D E ∥$ 平面 $A A_{1} C_{1} C$

（2） $B C_{1} ⊥ A B_{1}$ .

在 $△ A B C$ 中，已知 $A B = 2, A C = 3, A = 60^{°}$ .
（1）求 $B C$ 的长；
（2）求 $\sin 2 C$ 的值.

如图，椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （ $a > b > 0$ ）的左右焦点分别为 $F_{1}$ , $F_{2}$ ,且过 $F_{2}$ 的直线交椭圆于 $P, Q$ 两点，且 $P Q ⊥ P F_{1}$ .

（Ⅰ）若 $|P F_{1}| = 2 + \sqrt{2}$ , $|P F_{2}| = 2 - \sqrt{2}$ |，求椭圆的标准方程.
（Ⅱ）若 $|P Q| = λ |P F_{1}|$ ，且 $\frac{3}{4} \leq λ \leq \frac{4}{3}$ ，试确定椭圆离心率的取值范围.

如图，三棱锥 $P - A B C$ 中，平面 $P A C ⊥$ 平面 $A B C$ ， $∠ A B C = \frac{π}{2}$ ，点 $D, E$ 在线段 $A C$ 上，且 $A D = D E = E C = 2, P D = P C = 4$ ，点 $F$ 在线段 $A B$ 上，且 $E F ∥ B C$ .

（Ⅰ）证明： $A B ⊥$ 平面 $P F E$ .
（Ⅱ）若四棱锥 $P - D F B C$ 的体积为7，求线段 $B C$ 的长.