(本小题12分)如图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，M-优题课

(本小题12分)
如图，正方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中，M、N分别为AB、BC的中点.
（Ⅰ）求证：平面B₁MN⊥平面BB₁D₁D；
（II）当点P为棱DD₁中点时，求直线MB₁与平面A₁C₁P所成角的正弦值；

科目数学题型解答题难度中等

如图,在三棱锥 $P - A B C$ 中, $∠ A P B = 90^{°}, ∠ P A B = 60^{°}, A B = B C = C A$ ,平面 $P A B ⊥$ 平面 $A B C$ .

（Ⅰ）求直线 $P C$ 与平面 $A B C$ 所成角的大小；
（Ⅱ）求二面角 $B - A P - C$ 的大小.

函数 $f (x) = 6 \cos^{2} \frac{ω x}{2} + \sqrt{3} \cos ω x - 3 (ω > 0)$ 在一个周期内的图象如图所示， $A$ 为图象的最高点， $B$ 、 $C$ 为图象与 $x$ 轴的交点，且 $△ A B C$ 为正三角形。

（Ⅰ）求 $ω$ 的值及函数 $f (x)$ 的值域；
（Ⅱ）若 $f (x_{0}) = \frac{8 \sqrt{3}}{5}$ ，且 $x_{0} \in (- \frac{10}{3}, \frac{2}{3})$ ，求 $f (x_{0} + 1)$ 的值。

某居民小区有两个相互独立的安全防范系统（简称系统） $A$ 和 $B$ ，系统 $A$ 和在任意时刻发生故障的概率分别为 $\frac{1}{10}$ 和 $p$ .

（Ⅰ）若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为 $\frac{49}{50}$ ，求 $p$ 的值；
（Ⅱ）设系统 $A$ 在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量 $ξ$ ，求 $ξ$ 的概率分布列及数学期望 $E ξ$ .

对于数集 $X = \{- 1, x_{1}, x_{2,} \dots, x_{n}\}$ ，其中 $0 < x_{x} < x_{2} < \dots < x_{n}$ ， $n \geq 2$ ，定义向量集 $Y = \{\underset{a}{\to} \underset{a}{\to} = (s, t, s \in X, t \in X)\}$ . 若对于任意 $\underset{a_{1}}{\to} \in Y$ ，存在 $\underset{a_{2}}{\to} \in Y$ ，使得 $\underset{a_{1}}{\to} . \underset{a_{2}}{\to} = 0$ ，则称X具有性质 $P$ .例如 $X = \{- 1, 1, 2\}$ 具有性质 $P$ .
（1）若 $x > 2$ ，且 $\{- 1, 1, 2, x\}$ ，求 $x$ 的值；
（2）若 $X$ 具有性质 $P$ ，求证： $1 \in X$ ,且当 $x_{n} > 1$ 时， $x_{1} = 1$ ；
（3）若 $X$ 具有性质 $P$ ，且 $x_{1} = 1, x_{2} = q$ （ $q$ 为常数），求有穷数列 $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ 的通项公式.

在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知双曲线 $C_{1} : 2 x^{2} - y^{2} = 1$ .
（1）过 $C_{1}$ 的左顶点引 $C_{1}$ 的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及 $x$ 轴围成的三角形的面积；
（2）设斜率为1的直线 $l$ 交 $C_{1}$ 于 $P$ . $Q$ 两点，若 $l$ 与圆 $x^{2} + y^{2} = 1$ 相切，求证： $O P ⊥ O Q$ ；
（3）设椭圆 $C_{2} : 4 x^{2} + y^{2} = 1$ . 若 $M, N$ 分别是 $C_{1}$ 、 $C_{2}$ 上的动点，且 $O M ⊥ O N$ ，求证： $O$ 到直线 $M N$ 的距离是定值.

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