已知抛物线 $y=-\frac{1}{2}{x}^2+bx+4$上有不同的两点E $\left(k+3,-k^2+1\right)$和F $\left(-k-1,-k^2+1\right)$．

（1）求抛物线的解析式．
（2）如图，抛物线 $y=-\frac{1}{2}{x}^2+bx+4$与 $x$轴和 $y$轴的正半轴分别交于点 $A$和 $B$， $M$为 $AB$的中点， $\angle PMQ$在 $AB$的同侧以 $M$为中心旋转，且 $\angle PMQ＝45°$， $MP$交 $y$轴于点 $C$， $MQ$交 $x$轴于点 $D$．设 $AD$的长为 $m（m＞0）$，BC的长为 $n$，求 $n$和 $m$之间的函数关系式

（3）当m，n为何值时，∠PMQ的边过点F．

科目 数学   题型 解答题   难度 中等

知识点： 二次函数在给定区间上的最值