如图，一个被等分成了3个相同扇形的圆形转盘，3个扇形分别标有-优题课

如图，一个被等分成了3个相同扇形的圆形转盘，3个扇形分别标有数字1、3、6，指针的位置固定，转动转盘后任其自由停止，其中的某个扇形会恰好停止在指针所指的位置（指针指向两个扇形的交线时，重新转动转盘）.

（1）请用画树形图或列表的方法(只选其中一种)，表示出分别转动转盘两次转盘自由停止后，指针所指扇形数字的所有结果；
（2）求分别转动转盘两次转盘自由停止后，指针所指扇形的数字之和的算术平方根为无理数的概率.

科目数学题型解答题难度中等

知识点：面积及等积变换

教育部发布的义务教育质量监测结果报告显示，我国八年级学生平均每天的睡眠时间达 9 小时及以上的比例为 $19.4 %$ ．某校数学社团成员采用简单随机抽样的方法，抽取了本校八年级 50 名学生，对他们一周内平均每天的睡眠时间 t （单位：小时）进行了调查，将数据整理后绘制成下表：

平均每天的睡眠时间分组	$5 \leq t ＜ 6$	$6 \leq t ＜ 7$	$7 \leq t ＜ 8$	$8 \leq t ＜ 9$	9 小时及以上
频数	$1$	$5$	$m$	$24$	$n$

该样本中学生平均每天的睡眠时间达 9 小时及以上的比例高于全国的这项数据，达到了 $22 %$ ．

（ 1 ）求表格中 n 的值；

（ 2 ）该校八年级共 400 名学生，估计其中平均每天的睡眠时间在 $7 \leq t ＜ 8$ 这个范围内的人数是多少．

如图， $A C$ 是四边形 ABCD 的对角线， $∠ 1 ＝ ∠ B$ ，点 $E$ 、 $F$ 分别在 $A B$ 、 $B C$ 上， $B E ＝ C D$ ， $B F ＝ C A$ ，连接 $E F$ ．

（ 1 ）求证： $∠ D ＝ ∠ 2$ ；

（ 2 ）若 $E F ∥ A C ， ∠ D ＝ 78 °$ ，求 $∠ B A C$ 的度数．

如图，在平面直角坐标系中，矩形 $ABCD$ 的边 $AB$ 长是方程 $x^{2} - 3 x - 18 = 0$ 的根，连接 $BD$ ， $∠ DBC = 30 °$ ，并过点 $C$ 作 $CN ⊥ BD$ ，垂足为 $N$ ，动点 $P$ 从点 $B$ 以每秒 $2$ 个单位长度的速度沿 $BD$ 方向匀速运动到点 $D$ 为止；点 $M$ 沿线段 $DA$ 以每秒 $\sqrt{3}$ 个单位长度的速度由点 $D$ 向点 $A$ 匀速运动，到点 $A$ 为止，点 $P$ 与点 $M$ 同时出发，设运动时间为 $t$ 秒 $(t > 0)$

（ 1 ）线段 $CN =$ ______ ；

（ 2 ）连接 $PM$ 和 $MN$ ，求 $Δ P M N$ 的面积 $s$ 与运动时间 $t$ 的函数关系式；

（ 3 ）在整个运动过程中，当 $Δ P M N$ 是以 $PN$ 为腰的等腰三角形时，直接写出点 $P$ 的坐标．

某农谷生态园响应国家发展有机农业政策，大力种植有机蔬菜，某超市看好甲、乙两种有机蔬菜的市场价值，经调查甲种蔬菜进价每千克 $m$ 元，售价每千克 16 元；乙种蔬菜进价每千克 $n$ 元，售价每千克 18 元．

（ 1 ）该超市购进甲种蔬菜 10 千克和乙种蔬菜 5 千克需要 170 元；购进甲种蔬菜 6 千克和乙种蔬菜 10 千克需要 200 元．求 $m$ ， $n$ 的值．

（ 2 ）该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共 100 千克，且投入资金不少于 1160 元又不多于 1168 元，设购买甲种蔬菜 $x$ 千克，求有哪几种购买方案．

（ 3 ）在（ 2 ）的条件下，超市在获得的利润取得最大值时，决定售出的甲种蔬菜每千克捐出 $2 a$ 元，乙种蔬菜每千克捐出 $a$ 元给当地福利院，若要保证捐款后的利润率不低于 20% ，求 $a$ 的最大值．

以 $Rt Δ A B C$ 的两边 $AB$ 、 $AC$ 为边，向外作正方形 $ABDE$ 和正方形 $ACFG$ ，连接 $EG$ ，过点 $A$ 作 $AM ⊥ BC$ 于 $M$ ，延长 $MA$ 交 $EG$ 于点 $N$ ．

（ 1 ）如图 1 ，若 $∠ BAC = 90 °$ ， $AB = AC$ ，易证： $EN = GN$ ；

（ 2 ）如图 2 ， $∠ BAC = 90 °$ ；如图 3 ， $∠ BAC \neq 90 °$ ，（ 1 ）中结论，是否成立，若成立，选择一个图形进行证明；若不成立，写出你的结论，并说明理由．