先化简，再求值：，其中-优题课

《函数的图象与性质》拓展学习片段展示：

【问题】如图①，在平面直角坐标系中，抛物线 $y = a {(x - 2)}^{2} - \frac{4}{3}$ 经过原点 $O$ ，与 $x$ 轴的另一个交点为 $A$ ，则 $a =$ 　　．

【操作】将图①中抛物线在 $x$ 轴下方的部分沿 $x$ 轴折叠到 $x$ 轴上方，将这部分图象与原抛物线剩余部分的图象组成的新图象记为 $G$ ，如图②．直接写出图象 $G$ 对应的函数解析式．

【探究】在图②中，过点 $B (0, 1)$ 作直线 $l$ 平行于 $x$ 轴，与图象 $G$ 的交点从左至右依次为点 $C$ ， $D$ ， $E$ ， $F$ ，如图③．求图象 $G$ 在直线 $l$ 上方的部分对应的函数 $y$ 随 $x$ 增大而增大时 $x$ 的取值范围．

【应用】 $P$ 是图③中图象 $G$ 上一点，其横坐标为 $m$ ，连接 $PD$ ， $PE$ ．直接写出 $ΔPDE$ 的面积不小于1时 $m$ 的取值范围．

如图，在 $Rt Δ ABC$ 中， $∠ ACB = 90 °$ ， $∠ A = 45 °$ ， $AB = 4 cm$ ．点 $P$ 从点 $A$ 出发，以 $2 cm / s$ 的速度沿边 $AB$ 向终点 $B$ 运动．过点 $P$ 作 $PQ ⊥ AB$ 交折线 $ACB$ 于点 $Q$ ， $D$ 为 $PQ$ 中点，以 $DQ$ 为边向右侧作正方形 $DEFQ$ ．设正方形 $DEFQ$ 与 $ΔABC$ 重叠部分图形的面积是 $y (c m^{2})$ ，点 $P$ 的运动时间为 $x (s)$ ．

（1）当点 $Q$ 在边 $AC$ 上时，正方形 $DEFQ$ 的边长为　 $x$ 　 $cm$ （用含 $x$ 的代数式表示）；

（2）当点 $P$ 不与点 $B$ 重合时，求点 $F$ 落在边 $BC$ 上时 $x$ 的值；

（3）当 $0 < x < 2$ 时，求 $y$ 关于 $x$ 的函数解析式；

（4）直接写出边 $BC$ 的中点落在正方形 $DEFQ$ 内部时 $x$ 的取值范围．

如图①，一个正方体铁块放置在圆柱形水槽内，现以一定的速度往水槽中注水， $28 s$ 时注满水槽．水槽内水面的高度 $y (cm)$ 与注水时间 $x (s)$ 之间的函数图象如图②所示．

（1）正方体的棱长为　　 $cm$ ；

（2）求线段 $AB$ 对应的函数解析式，并写出自变量 $x$ 的取值范围；

（3）如果将正方体铁块取出，又经过 $t (s)$ 恰好将此水槽注满，直接写出 $t$ 的值．

如图①， $BD$ 是矩形 $ABCD$ 的对角线， $∠ ABD = 30 °$ ， $AD = 1$ ．将 $ΔBCD$ 沿射线 $BD$ 方向平移到△ $B^{'} C^{'} D^{'}$ 的位置，使 $B^{'}$ 为 $BD$ 中点，连接 $A B^{'}$ ， $C^{'} D$ ， $A D^{'}$ ， $B C^{'}$ ，如图②．

（1）求证：四边形 $A B^{'} C^{'} D$ 是菱形；

（2）四边形 $AB C^{'} D'$ 的周长为　　；

（3）将四边形 $AB C^{'} D^{'}$ 沿它的两条对角线剪开，用得到的四个三角形拼成与其面积相等的矩形，直接写出所有可能拼成的矩形周长．

如图，在平面直角坐标系中，直线 $AB$ 与函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象交于点 $A (m, 2)$ ， $B (2, n)$ ．过点 $A$ 作 $AC$ 平行于 $x$ 轴交 $y$ 轴于点 $C$ ，在 $y$ 轴负半轴上取一点 $D$ ，使 $OD = \frac{1}{2} OC$ ，且 $ΔACD$ 的面积是6，连接 $BC$ ．

（1）求 $m$ ， $k$ ， $n$ 的值；

（2）求 $ΔABC$ 的面积．