（本小题12分）如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，MD-优题课

题文

（本小题12分）如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD=NB=1，E是MN的中点。

（1）求证：平面AEC⊥平面AMN；
（2）求二面角M－AC－N的余弦值。

科目数学题型解答题难度中等

相关试题

某项考试按科目 $A$ 、科目 $B$ 依次进行，只有当科目 $A$ 成绩合格时，才可继续参加科目 $B$ 的考试。已知每个科目只允许有一次补考机会，两个科目成绩均合格方可获得证书。现某人参加这项考试，科目A每次考试成绩合格的概率均为 $\frac{2}{3}$ ，科目 $B$ 每次考试成绩合格的概率均为 $\frac{1}{2}$ ，假设各次考试成绩合格与否均互不影响。
（Ⅰ）求他不需要补考就可获得证书的概率；
（Ⅱ）在这项考试过程中，假设他不放弃所有的考试机会，记他参加考试的次数为 $ξ$ ，求 $ξ$ 的数学期望 $E ξ$ 。

已知函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} + x^{2} - 2$ 。
　　（Ⅰ）设 $\{a_{n}\}$ 是正数组成的数列，前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，其中 $a_{1} = 3$ ，若点 $(n \in N^{*})$ 在函数 $y = f^{`} (x)$ 的图象上，求证：点 $(n, S_{n})$ 也在 $y = f^{`} (x)$ 的图象上；
　　（Ⅱ）求函数 $f (x)$ 在区间 $(a - 1, a)$ 内的极值。

如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，则面 $P A D ⊥$ 底面 $A B C D$ ，侧棱 $P A = P D = \sqrt{2}$ ，底面 $A B C D$ 为直角梯形，其中 $B C / / A D, A B ⊥ A D, A D = 2 A B = 2 B C = 2$ ， $O$ 为 $A D$ 中点.

（Ⅰ）求证： $P O ⊥$ 平面 $A B C D$ ；
（Ⅱ）求异面直线 $P D$ 与 $C D$ 所成角的大小；
（Ⅲ）线段 $A D$ 上是否存在点 $Q$ ，使得它到平面 $P C D$ 的距离为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ？若存在，求出 $\frac{A Q}{Q D}$ 的值；若不存在，请说明理由.

已知向量 $m = (\sin A, \cos A)$ ， $n = (\sqrt{3}, - 1)$ ， $m \cdot n = 1$ ，且 $A$ 为锐角。
（Ⅰ）求角 $A$ 的大小；

（Ⅱ）求函数 $f (x) = = \cos 2 x + 4 \cos A \sin x (x \in R)$ 的值域。

设点 $P (x_{0}, y_{0})$ 在直线 $x = m (y \neq \pm m, 0 < m < 1)$ 上，过点 $P$ 作双曲线 $x^{2} - y^{2} = 1$ 的两条切线 $P A, P B$ ，切点为 $A, B$ ，定点 $M (\frac{1}{m}, 0)$ .

（1）求证：三点 $A, M, B$ 共线；
（2）过点 $A$ 作直线 $x - y = 0$ 的垂线，垂足为 $N$ ，试求 $△ A M N$ 的重心 $G$ 所在曲线方程.

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