对于数列，定义为数列的一阶差分数列，其中.（Ⅰ）若数列的通项-优题课

题文

对于数列，定义为数列的一阶差分数列，其中.
（Ⅰ）若数列的通项公式，求的通项公式；
（Ⅱ）若数列的首项是1，且.
①设，求数列的通项公式；
②求的前项和.

科目数学题型解答题难度中等

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已知 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 是底面边长为1的正四棱柱，高 $A A_{1} = 2$ 。求：
⑴异面直线 $B D$ 与 $A B_{1}$ 所成的角的大小（结果用反三角函数表示）；
⑵四面体 $A B_{1} D_{1} C$ 的体积。

已知复数 $z_{1}$ 满足 $(z_{1} - 2) (1 + i) = 1 - i$ （ $i$ 为虚数单位），复数 $z_{2}$ 的虚部为 $2$ ， $z_{1}, z_{2}$ 是实数，求 $z_{2}$ 。

（1）已知两个等比数列 $\{a_{n}\}, \{b_{n}\}$ ，满足 $a_{1} = a (a > 0), b_{1} - a_{1} = 1, b_{2} - a_{2} = 2, b_{3} - a_{3} = 3$ ，若数列 $\{a_{n}\}$ 唯一，求 $a$ 的值；
（2）是否存在两个等比数列 $\{a_{n}\}, \{b_{n}\}$ ，使得 $b_{1} - a_{1}, b_{2} - a_{2}, b_{3} - a_{3}, b_{4} - a_{4}$ 成公差不为的等差数列？若存在，求 $\{a_{n}\}, \{b_{n}\}$ 的通项公式；若不存在，说明理由．

设 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} + m x + n x$ .
（1）如果 $g (x) = f^{`} (x) - 2 x - 3$ 在 $x = - 2$ 处取得最小值 $- 5$ ，求 $f (x)$ 的解析式；
（2）如果 $m + n < 10 (m, n \in N_{+})$ ， $F (x)$ 的单调递减区间的长度是正整数，试求 $m$ 和 $n$ 的值．(注：区间 $(a, b)$ 的长度为 $b - a$ ）

已知过抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点,斜率为 $2 \sqrt{2}$ 的直线交抛物线于 $A (x_{1}, y_{2}), B (x_{2}, y_{2}), (x_{1} < x_{2})$ 两点，且 $|A B| = 9$ ．
（1）求该抛物线的方程；
（2） $O$ 为坐标原点, $C$ 为抛物线上一点,若 $\overset{⇀}{O C} = \overset{⇀}{O A} + λ \overset{⇀}{O B}$ ,求 $λ$ 的值．

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