解方程：-优题课

如图，已知 $ΔABD$ 中， $AC ⊥ BD$ ， $BC = 8$ ， $CD = 4$ ， $\cos ∠ ABC = \frac{4}{5}$ ， $BF$ 为 $AD$ 边上的中线．

（1）求 $AC$ 的长；

（2）求 $\tan ∠ FBD$ 的值．

计算： $9^{\frac{1}{2}} + | 1 - \sqrt{2} | - 2^{- 1} \times \sqrt{8}$ ．

问题提出

（1）如图1，在 $▱ ABCD$ 中， $∠ A = 45 °$ ， $AB = 8$ ， $AD = 6$ ， $E$ 是 $AD$ 的中点，点 $F$ 在 $DC$ 上，且 $DF = 5$ ，求四边形 $ABFE$ 的面积．（结果保留根号）

问题解决

（2）某市进行河滩治理，优化美化人居生态环境．如图2所示，现规划在河畔的一处滩地上规划一个五边形河畔公园 $ABCDE$ ．按设计要求，要在五边形河畔公园 $ABCDE$ 内挖一个四边形人工湖 $OPMN$ ，使点 $O$ 、 $P$ 、 $M$ 、 $N$ 分别在边 $BC$ 、 $CD$ 、 $AE$ 、 $AB$ 上，且满足 $BO = 2 AN = 2 CP$ ， $AM = OC$ ．已知五边形 $ABCDE$ 中， $∠ A = ∠ B = ∠ C = 90 °$ ， $AB = 800 m$ ， $BC = 1200 m$ ， $CD = 600 m$ ， $AE = 900 m$ ．为满足人工湖周边各功能场所及绿化用地需要，想让人工湖面积尽可能小．请问，是否存在符合设计要求的面积最小的四边形人工湖 $OPMN$ ？若存在，求四边形 $OPMN$ 面积的最小值及这时点 $N$ 到点 $A$ 的距离；若不存在，请说明理由．

已知抛物线 $y = - x^{2} + 2 x + 8$ 与 $x$ 轴交于点 $A$ 、 $B$ （点 $A$ 在点 $B$ 的左侧），与 $y$ 轴交于点 $C$ ．

（1）求点 $B$ 、 $C$ 的坐标；

（2）设点 $C'$ 与点 $C$ 关于该抛物线的对称轴对称．在 $y$ 轴上是否存在点 $P$ ，使 $ΔPCC'$ 与 $ΔPOB$ 相似，且 $PC$ 与 $PO$ 是对应边？若存在，求出点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

如图， $AB$ 是 $⊙ O$ 的直径，点 $E$ 、 $F$ 在 $⊙ O$ 上，且 $\hat{BF} = 2 \hat{BE}$ ，连接 $OE$ 、 $AF$ ，过点 $B$ 作 $⊙ O$ 的切线，分别与 $OE$ 、 $AF$ 的延长线交于点 $C$ 、 $D$ ．

（1）求证： $∠ COB = ∠ A$ ；

（2）若 $AB = 6$ ， $CB = 4$ ，求线段 $FD$ 的长．