如图，矩形ABCD的顶点A、B的坐标分别为（4，0）和（2，-优题课

如图，矩形ABCD的顶点A、B的坐标分别为（-4，0）和（2，0），BC=．设直线AC与直线x=4交于点E．

（1）求以直线x=4为对称轴，且过C与原点O的抛物线的函数关系式，并说明此抛物线一定过点E；
（2）设（1）中的抛物线与x轴的另一个交点为N，M是该抛物线上位于C、N之间的一动点，求△CMN面积的最大值．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：圆内接四边形的性质

观察下列各个等式的规律：

第一个等式： $\frac{2^{2} - 1^{2} - 1}{2} = 1$ ，第二个等式： $\frac{3^{2} - 2^{2} - 1}{2} = 2$ ，第三个等式： $\frac{4^{2} - 3^{2} - 1}{2} = 3 \dots$

请用上述等式反映出的规律解决下列问题：

（1）直接写出第四个等式；

（2）猜想第 $n$ 个等式（用 $n$ 的代数式表示），并证明你猜想的等式是正确的．

如图，点 $E$ 、 $C$ 在线段 $BF$ 上， $BE = CF$ ， $AB = DE$ ， $AC = DF$ ．求证： $∠ ABC = ∠ DEF$ ．

已知：如图，抛物线 $y = a x^{2} + bx + 3$ 与坐标轴分别交于点 $A$ ， $B (- 3, 0)$ ， $C (1, 0)$ ，点 $P$ 是线段 $AB$ 上方抛物线上的一个动点．

（1）求抛物线解析式；

（2）当点 $P$ 运动到什么位置时， $ΔPAB$ 的面积最大？

（3）过点 $P$ 作 $x$ 轴的垂线，交线段 $AB$ 于点 $D$ ，再过点 $P$ 作 $PE / / x$ 轴交抛物线于点 $E$ ，连接 $DE$ ，请问是否存在点 $P$ 使 $ΔPDE$ 为等腰直角三角形？若存在，求点 $P$ 的坐标；若不存在，说明理由．

如图，在 $ΔABC$ 中． $∠ ABC = ∠ ACB$ ，以 $AC$ 为直径的 $⊙ O$ 分别交 $AB$ 、 $BC$ 于点 $M$ 、 $N$ ，点 $P$ 在 $AB$ 的延长线上，且 $∠ BCP = \frac{1}{2} ∠ BAC$ ．

（1）求证： $CP$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）若 $BC = 3 \sqrt{2}$ ， $\cos ∠ BCP = \frac{\sqrt{30}}{6}$ ，求点 $B$ 到 $AC$ 的距离．

由我国完全自主设计，自主建造的首艘国产航母于2018年5月成功完成首次海上试验任务．如图，航母由西向东航行，到达 $B$ 处时，测得小岛 $A$ 在北偏东 $60 °$ 方向上，航行20海里到达 $C$ 点，这时测得小岛 $A$ 在北偏东 $30 °$ 方向上，小岛 $A$ 周围10海里内有暗礁，如果航母不改变航线继续向东航行，有没有触礁危险？请说明理由．

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