（本小题满分13分）已知点是函数的图像上的两点，若对于任意实-优题课

题文

（本小题满分13分）
已知点是函数的图像上的两点，若对于任意实数，当时，以为切点分别作函数的图像的切线，则两切线必平行，并且当时函数取得极小值1.
（1）求函数的解析式；
（2）若是函数的图像上的一点，过作函数图像的切线，切线与轴和直线分别交于两点，直线与轴交于点，求△ABC的面积的最大值.

科目数学题型解答题难度中等

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设 $ζ$ 为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时， $ζ = 0$ ；当两条棱平行时， $ζ$ 的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时， $ζ = 1$ ．
（1）求概率 $P (ζ = 0)$ ；
（2）求 $ζ$ 的分布列，并求其数学期望

已知实数 $x, y$ 满足： $|x + y| < \frac{1}{3}, |2 x - y| < \frac{1}{6}$ ，

求证： $|y| < \frac{5}{16}$ ．

在极坐标中，已知圆 $C$ 经过点 $P (\sqrt{2}, \frac{π}{4})$ ，圆心为直线 $ρ \sin (θ - \frac{π}{3}) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$ 与极轴的交点，求圆 $C$ 的极坐标方程．

已知矩阵 $A$ 的逆矩阵 $A^{- 1} = [\begin{matrix} - \frac{1}{4} \\ \frac{1}{2} \end{matrix} \begin{matrix} \frac{3}{4} \\ - \frac{1}{2} \end{matrix}]$ ，求矩阵 $A$ 的特征值．

如图， $A B$ 是圆 $O$ 的直径， $D, E$ 为圆上位于 $A B$ 异侧的两点，连结 $B D$ 并延长至点 $C$ ，使 $B D = D C$ ，连结 $A C, A E, D E$ ．
求证： $∠ E = ∠ C$ ．

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