四边形ABCD各顶点的坐标分别为A（1，3）、B（5，2）、-优题课

四边形ABCD各顶点的坐标分别为A（1，3）、B（5，2）、C（8，4）、D（6，9），
以原点为位似中心，相似比为的位似图形A1B1C1D1，且四边形A1B1C1D1在第一象限。
写出各点坐标。

科目数学题型解答题难度较易

知识点：坐标与图形变化-旋转

如图1，抛物线 $y = - \frac{1}{4} x^{2} + bx + c$ 经过点 $C (6, 0)$ ，顶点为 $B$ ，对称轴 $x = 2$ 与 $x$ 轴相交于点 $A$ ， $D$ 为线段 $BC$ 的中点．

（1）求抛物线的解析式；

（2） $P$ 为线段 $BC$ 上任意一点， $M$ 为 $x$ 轴上一动点，连接 $MP$ ，以点 $M$ 为中心，将 $ΔMPC$ 逆时针旋转 $90 °$ ，记点 $P$ 的对应点为 $E$ ，点 $C$ 的对应点为 $F$ ．当直线 $EF$ 与抛物线 $y = - \frac{1}{4} x^{2} + bx + c$ 只有一个交点时，求点 $M$ 的坐标．

（3） $ΔMPC$ 在（2）的旋转变换下，若 $PC = \sqrt{2}$ （如图 $2)$ ．

①求证： $EA = ED$ ．

②当点 $E$ 在（1）所求的抛物线上时，求线段 $CM$ 的长．

如图1， $AB$ 是 $⊙ O$ 的直径，直线 $AM$ 与 $⊙ O$ 相切于点 $A$ ，直线 $BN$ 与 $⊙ O$ 相切于点 $B$ ，点 $C$ （异于点 $A)$ 在 $AM$ 上，点 $D$ 在 $⊙ O$ 上，且 $CD = CA$ ，延长 $CD$ 与 $BN$ 相交于点 $E$ ，连接 $AD$ 并延长交 $BN$ 于点 $F$ ．

（1）求证： $CE$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）求证： $BE = EF$ ；

（3）如图2，连接 $EO$ 并延长与 $⊙ O$ 分别相交于点 $G$ 、 $H$ ，连接 $BH$ ．若 $AB = 6$ ， $AC = 4$ ，求 $\tan ∠ BHE$ ．

某校足球队需购买 $A$ 、 $B$ 两种品牌的足球．已知 $A$ 品牌足球的单价比 $B$ 品牌足球的单价高20元，且用900元购买 $A$ 品牌足球的数量用720元购买 $B$ 品牌足球的数量相等．

（1）求 $A$ 、 $B$ 两种品牌足球的单价；

（2）若足球队计划购买 $A$ 、 $B$ 两种品牌的足球共90个，且 $A$ 品牌足球的数量不小于 $B$ 品牌足球数量的2倍，购买两种品牌足球的总费用不超过8500元．设购买 $A$ 品牌足球 $m$ 个，总费用为 $W$ 元，则该队共有几种购买方案？采用哪一种购买方案可使总费用最低？最低费用是多少元？

如图，在平面直角坐标系中，直线 $y = ax - 3 a (a \neq 0)$ 与 $x$ 轴、 $y$ 轴分别相交于 $A$ 、 $B$ 两点，与双曲线 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的一个交点为 $C$ ，且 $BC = \frac{1}{2} AC$ ．

（1）求点 $A$ 的坐标；

（2）当 $S_{ΔAOC} = 3$ 时，求 $a$ 和 $k$ 的值．

如图，一艘轮船以每小时30海里的速度自东向西航行，在 $A$ 处测得小岛 $P$ 位于其西北方向（北偏西 $45 °$ 方向），2小时后轮船到达 $B$ 处，在 $B$ 处测得小岛 $P$ 位于其北偏东 $60 °$ 方向．求此时船与小岛 $P$ 的距离（结果保留整数，参考数据： $\sqrt{2} \approx 1.414$ ， $\sqrt{3} \approx 1.732)$ ．

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