(本题满分12分)某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15-优题课

题文

(本题满分12分)
某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售. 每天能卖出30盏，若售价每提高1元，日销售量将减少2盏.
（1）设这批台灯提价后每盏的销售价格定为，销售收入为，写出.
（2）为了使这批台灯每天获得400元以上的销售收入，问应如何制定这批台灯每盏的销售价格范围？

科目数学题型解答题难度较易

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如图， $A$ 地到火车站共有两条路径 $L_{1}$ 和 $L_{2}$ ，据统计，通过两条路径所用的时间互不影响，所用时间落在个时间段内的频率如下表：

时间（分钟）	1020	2030	3040	4050	5060
$L_{1}$ 的频率	$0.1$	$0.2$	$0.3$	$0.2$	$0.2$
$L_{2}$ 的频率	0	$0.1$	$0.4$	$0.4$	$0.1$

现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站．
（1）为了尽最大可能在各自允许的时间内赶到火车站，甲和乙应如何选择各自的路径？
（2）用X表示甲、乙两人中在允许的时间内能赶到火车站的人数，针对（1）的选择方案，求X的分布列和数学期望 .

如图，从点 $P_{1}$ $(0, 0)$ 作 $x$ 轴的垂线交曲线 $y = e^{x}$ 于点 $Q (O, 1)$ ，曲线在 $Q_{1}$ 点处的切线与 $x$ 轴交于点 $P_{2}$ ．再从 $P_{2}$ 做 $x$ 轴的垂线交曲线于点 $Q_{2}$ ，依次重复上述过程得到一系列点： $P_{1}, Q_{1}$ ； $P_{2}, Q_{2}$ ；…； $P_{n}$ ， $Q_{n}$ 记 $p_{k}$ 点的坐标为 $(x_{k}, 0)$ （ $k = 0, 1, 2 . . ., n$ ）．

（1）试求 $x_{k}$ 与 $x_{k - 1}$ 的关系（ $2 k = n$ ）；
（2）求 $|P_{1} Q_{1}| + |P_{2} Q_{2}| + |P_{3} Q_{3}| + \dots + |P_{n} Q_{n}|$ ．

叙述并证明余弦定理．

如图，设 $P$ 是圆 $x^{2} + y^{2} = 25$ 上的动点，点 $D$ 是 $P$ 在 $x$ 轴上投影， $M$ 为 $P D$ 上一点，且 $|M D| = \frac{4}{5} |P D|$ ．

（1）当 $P$ 在圆上运动时，求点 $M$ 的轨迹 $C$ 的方程；
（2）求过点 $(3, 0)$ 且斜率为 $\frac{4}{5}$ 的直线被 $C$ 所截线段的长度．

如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A B C = 60 °$ ， $∠ B A C = 90 °$ ， $A D$ 是 $B C$ 上的高，沿 $A D$ 把 $△ A B D$ 折起，使 $∠ B D C = 90 °$ ．

（1）证明：平面 $A D B ⊥$ 平面 $B D C$ ；
（2）设 $E$ 为 $B C$ 的中点，求 $\overset{⇀}{A E}$ 与 $\overset{⇀}{D B}$ 夹角的余弦值．

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