-优题课

已知：如图，在四边形ABCD中， $AB ∥ CD$ ，E是BC的中点，直线AE交DC的延长线于点F．试判断四边形ABFC的形状，并证明你的结论．

在读书月活动中，某校号召全体师生积极捐书，为了解所捐书籍的种类，图书管理员对部分书籍进行了抽样调查，根据调查数据绘制了如下不完整的统计图表．请你根据统计图表所提供的信息回答下面问题：

某校师生捐书种类情况统计表

种类	频数	百分比
A．科普类	12	n
B．文学类	14	35%
C．艺术类	m	20%
D．其它类	6	15%

（1）统计表中的m＝　　，n＝　　；

（2）补全条形统计图；

（3）本次活动师生共捐书2000本，请估计有多少本科普类图书？

已知：△ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为 $A （﹣ 1 ， 2 ）$ 、 $B （﹣ 2 ， 1 ）$ 、 $C （ 1 ， 1 ）$ （正方形网格中每个小正方形的边长是1个单位长度）．

（1）△A₁B₁C₁是△ABC绕点　　逆时针旋转　　度得到的，B₁的坐标是　　；

（2）求出线段AC旋转过程中所扫过的面积（结果保留π）．

如图①，直线 $y ＝ \frac{4}{3} x + 4$ 交于x轴于点A，交y轴于点C，过A、C两点的抛物线F₁交x轴于另一点B（1，0）．

（1）求抛物线F₁所表示的二次函数的表达式；

（2）若点M是抛物线F₁位于第二象限图象上的一点，设四边形MAOC和△BOC的面积分别为S_四边形_MAOC和S_△_BOC，记 $S ＝ S_{四边形 MAOC} ﹣ S_{△ BOC}$ ，求S最大时点M的坐标及S的最大值；

（3）如图②，将抛物线F₁沿y轴翻折并“复制”得到抛物线F₂，点A、B与（2）中所求的点M的对应点分别为A′、B′、M′，过点M′作M′E⊥x轴于点E，交直线A′C于点D，在x轴上是否存在点P，使得以A′、D、P为顶点的三角形与△AB′C相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

数学活动﹣旋转变换

（1）如图①，在△ABC中， $∠ ABC ＝ 130 °$ ，将△ABC绕点C逆时针旋转50°得到△A′B′C，连接BB′，求∠A′B′B的大小；

（2）如图②，在△ABC中， $∠ ABC ＝ 150 °$ ， $AB ＝ 3$ ， $BC ＝ 5$ ，将△ABC绕点C逆时针旋转60°得到△A′B′C，连接BB′，以A′为圆心，A′B′长为半径作圆．

（Ⅰ）猜想：直线BB′与⊙A′的位置关系，并证明你的结论；

（Ⅱ）连接A′B，求线段A′B的长度；

（3）如图③，在△ABC中， $∠ ABC ＝ α （ 90 ° ＜ α ＜ 180 ° ）$ ， $AB ＝ m$ ， $BC ＝ n$ ，将△ABC绕点C逆时针旋转2β角度 $（ 0 ° ＜ 2 β ＜ 180 ° ）$ 得到△A′B′C，连接A′B和BB′，以A′为圆心，A′B′长为半径作圆，问：角α与角β满足什么条件时，直线BB′与⊙A′相切，请说明理由，并求此条件下线段A′B的长度（结果用角α或角β的三角函数及字母m、n所组成的式子表示）