（23．(本小题满分12分)设函数（1）求的最小值.（2）若-优题课

如图，已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点 $F_{1}, F_{2}$ 为顶点的三角形的周长为 $4 (\sqrt{2} + 1)$ .一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设 $P$ 为该双曲线上异于顶点的任一点，直线 $P F_{1}$ 和 $P F_{2}$ 与椭圆的交点分别为 $A, B$ 和 $C, D$ .

（Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程；
（Ⅱ）设直线 $P F_{1}$ 、 $P F_{2}$ 的斜率分别为 $k_{1}$ 、 $k_{2}$ ，证明 $k_{1} k_{2} = 1$ ；
（Ⅲ）是否存在常数 $λ$ ，使得 $|A B| + |C D| = λ |A B| \cdot |C D|$ 恒成立？若存在，求 $λ$ 的值；若不存在，请说明理由.

某学校举行知识竞赛,第一轮选拔共设有 $A, B, C, D$ 四个问题，规则如下：
每位参加者计分器的初始分均为10分，答对问题 $A, B, C, D$ 分别加1分、2分、3分、6分，答错任一题减2分；
每回答一题，计分器显示累计分数，当累计分数小于8分时，答题结束，淘汰出局；当累计分数大于或等于14分时，答题结束，进入下一轮；当答完四题，累计分数仍不足14分时，答题结束，淘汰出局，当累计分数大于或等于14分时，答题结束，进入下一轮；当答完四题，累计分数仍不足14分时，答题结束，淘汰出局；
每位参加者按问题 $A, B, C, D$ 顺序作答，直至答题结束.
假设甲同学对问题 $A, B, C, D$ 回答正确的概率依次为 $\frac{3}{4}, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}$ ，且各题回答正确与否相互之间没有影响.
(Ⅰ)求甲同学能进入下一轮的概率；
（Ⅱ）用 $ζ$ 表示甲同学本轮答题结束时答题的个数，求 $ζ$ 的分布列和数学的 $E ζ$ .

已知函数 $f (x) = l n x - a x + \frac{1 - a}{x} - 1 (a \in R)$ .
(Ⅰ)当 $a \leq \frac{1}{2}$ 时，讨论 $f (x)$ 的单调性；
（Ⅱ）设 $g (x) = x^{2} - 2 b x + 4$ 当 $a = \frac{1}{4}$ 时，若对任意 $x_{1} \in (0, 2)$ ，存在 $x_{2} \in [1, 2]$ ，使 $f (x_{1}) \geq g (x_{2})$ ，求实数 $b$ 取值范围.

已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 满足： $a_{3} = 7, a_{5} + a_{1} = 26$ ， $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ．
（Ⅰ）求 $a_{n}$ 及 $S_{n}$ ；
（Ⅱ）令b_n= $b_{n} = \frac{1}{a_{n}^{2} - 1} （ n \in N * ）$ (nN^*)，求数列 $\{b_{n}\}$ 的前n项和 $T_{n}$ ．

已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} \sin 2 x \sin φ + \cos^{2} x \cos φ - \frac{1}{2} \sin (\frac{π}{2} + φ) (0 < φ < π)$ ，其图象过点 $(\frac{π}{6}, \frac{1}{2})$ ．
（Ⅰ）求 $φ$ 的值；
（Ⅱ）将函数 $y = f (x)$ 的图象上各点的横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ ，纵坐标不变，得到函数 $y = g (x)$ 的图象，求函数 $g (x)$ 在 $[0, \frac{π}{4}]$ 上的最大值和最小值．