（本小题满分14分）已知数列是正数组成的数列，其前n项和为，-优题课

题文

（本小题满分14分）
已知数列是正数组成的数列，其前n项和为，对于一切均有与2的等差中项等于与2的等比中项．计算;并由此猜想的通项公式.

科目数学题型解答题难度较易

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已知椭圆 $x^{2} + 2 y^{2} = 1$ ，过原点的两条直线 $l_{1}$ 和 $l_{2}$ 分别于椭圆交于 $A, B$ 和 $C, D$ ，记得到的平行四边形 $A B C D$ 的面积为 $S$ .
（1）设 $A (x_{1}, y_{1}), C (x_{2}, y_{2})$ ，用 $A, C$ 的坐标表示点 $C$ 到直线 $l_{1}$ 的距离，并证明 $S = 2 |x_{1} y_{1} - x_{2} y_{2}|$ ；
（2）设 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 的斜率之积为 $- \frac{1}{2}$ ，求面积 $S$ 的值.

如图， $O, P, Q$ 三地有直道相通， $O P = 5$ 千米， $P Q = 3$ 千米， $O Q = 4$ 千米.现甲、乙两警员同时从 $O$ 地出发匀速前往 $Q$ 地，经过 $t$ 小时，他们之间的距离为 $f (t)$ （单位：千米）.甲的路线是 $O Q$ ，速度为5千米/小时，乙的路线是 $OP Q$ ，速度为8千米/小时.乙到达 $B$ 地后原地等待.设 $t = t_{1}$ 时乙到达 $Q$ 地.

（1）求 $t_{1}$ 与 $f (t_{1})$ 的值；
（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米.当 $t_{1} \leq t \leq 1$ 时，求 $f (t)$ 的表达式，并判断 $f (t)$ 在 $[t_{1}, 1]$ 上得最大值是否超过3？说明理由.

如图，在长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A A_{1} = 1, A B = A D = 2, E, F$ ，分别是 $A B, B C$ 的中点．证明 $A_{1}, C_{1}, F, E$ 四点共面，并求直线 $C D_{1}$ 与平面 $A_{1} C_{1} F E$ 所成的角的大小.

已知关于 $x$ 的不等式 $|x + a| < b$ 的解集为 $\{x 2 < x < 4\}$

（Ⅰ）求实数 $a, b$ 的值；
（Ⅱ）求 $\sqrt{a t + 12} + \sqrt{b t}$ 的最大值.

选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标版权法 $x O y$ 吕，直线 $l$ 的参数方程为 $\{\begin{cases} x = 3 + \frac{1}{2} t \\ y = \frac{\sqrt{3}}{2} t \end{cases}$ ( $t$ 为参数），以原点为极点， $x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系， $⊙ C$ 的极坐标方程为 $ρ = \sqrt{3} \sin θ$ .
（Ⅰ）写出 $⊙ C$ 的直角坐标方程；
（Ⅱ） $P$ 为直线 $l$ 上一动点，当 $P$ 到圆心 $C$ 的距离最小时，求点 $P$ 的坐标.

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