(本题满分14分)
如图1,在平面内,ABCD是的菱形,ADD``A1和CD D`C1都是正方形.将两个正方形分别沿AD,CD折起,使D``与D`重合于点D1 .设直线l过点B且垂直于菱形ABCD所在的平面,点E是直线l上的一个动点,且与点D1位于平面ABCD同侧(图2).
(Ⅰ) 设二面角E – AC – D1的大小为q,若£q£
,求线段BE长的取值范围;
(Ⅱ)在线段上存在点
,使平面
平面
,求
与BE之间满足的关系式,并证明:当0 < BE < a时,恒有
< 1.
(本小题满分14分)已知焦点在轴上的椭圆
的离心率为
,
分别为左右焦点,过点
作直线交椭圆
于
(
在
两点之间)两点,且
,
关于原点
的对称点为
.
(1)求椭圆的方程;
(2)求直线的方程;
(3)过任作一直线交过
三点的圆于
两点,求
面积的取值范围.
(本小题满分13分)已知函数(其中
是自然对数的底数),
为
导函数。
(1)当时,其曲线
在点
处的切线方程;
(2)若时,
都有解,求
的取值范围;
(3)若,试证明:对任意
恒成立.
(本小题满分12分)数列的前n项和为
,且
(1)求数列的通项公式;
(2)若数列满足:
,求数列
的通项公式;
(3)令,求数列
的 n项和
.
(本小题满分12分)已知一个袋子里装有只有颜色不同的6个小球,其中白球2个,黑球4个,现从中随机取球,每次只取一球.
(1)若每次取球后都放回袋中,求事件“连续取球四次,至少取得两次白球”的概率;
(2)若每次取球后都不放回袋中,且规定取完所有白球或取球次数达到五次就终止游戏,记游戏结束时一共取球X次,求随机变量X的分布列与期望.
(本小题满分12分)如图,将边长为2的正六边形ABCDEF沿对角线BE翻折,连接AC、FD,形成如图所示的多面体,且
(1)证明:平面ABEF平面BCDE;
(2)求平面ABC与平面DEF所成的二面角(锐角)的余弦值.