(本小题满分12分)设，求直线AD与平面的夹角。-优题课

题文

(本小题满分12分)
设，求直线AD与平面的夹角。

科目数学题型解答题难度较易

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如图， $△ A B C$ 和 $△ B C D$ 所在平面互相垂直，且 $A B = B C = B D = 2$ ， $∠ A B C = ∠ D B C = 120^{°}$ ， $E, F, G$ 分别为 $A C, D C, A D$ 的中点.
（1）求证： $E F ⊥$ 平面 $B C G$ ；
（2）求三棱锥 $D - B C G$ 的体积.
附：椎体的体积公式 $V = \frac{1}{3} S h$ ，其中 $S$ 为底面面积， $h$ 为高.

某大学餐饮中心为了了解新生的饮食习惯，在全校一年级学生中进行了抽样调查，调查结果如下表所示：

（1）根据表中数据，问是否有95%的把握认为"南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异"；
（2）已知在被调查的北方学生中有5名数学系的学生，其中2名喜欢甜品，现在从这5名学生中随机抽取3人，求至多有1人喜欢甜品的概率.

在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 的对边 $a, b, c$ ，且，已知 $\vec{B A} \cdot \vec{B C} = 2$ ， $\cos B = \frac{1}{3}, b = 3$ ，求：
（1） $a$ 和 $c$ 的值；
（2） $\cos (B - C)$ 的值.

已知函数 $f (x) = x \cos x - \sin x + 1 (x > 0)$ .
（1）求 $f (x)$ 的单调区间；
（2）记 $x_{i}$ 为 $f (x)$ 的从小到大的第 $i (i \in N^{*})$ 个零点，证明：对一切 $n \in N^{*}$ ，有 $\frac{1}{{x^{2}}_{1}} + \frac{1}{{x^{2}}_{2}} + \dots + \frac{1}{{x^{2}}_{n}^{}} < \frac{2}{3}$ .

如图5， $O$ 为坐标原点，双曲线 $C_{1} : \frac{x^{2}}{{a_{1}}^{2}} - \frac{y^{2}}{{b_{1}}^{2}} = 1 (a_{1} > 0, b_{1} > 0)$ 和椭圆 $C_{2} : \frac{x^{2}}{{a_{1}}^{2}} + \frac{y^{2}}{{b_{2}}^{2}} = 1 (a_{2} > b_{2} > 0)$ 均过点 $P (\frac{2 \sqrt{3}}{3}, 1)$ ，且以 $C_{1}$ 的两个顶点和 $C_{2}$ 的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形.
(1)求 $C_{1}, C_{2}$ 的方程；
(2)是否存在直线 $l$ ，使得 $l$ 与 $C_{1}$ 交于 $A, B$ 两点，与 $C_{2}$ 只有一个公共点，且 $|\overset{⇀}{O A} + \overset{⇀}{O B}| = |\overset{⇀}{A B}|$ ？证明你的结论.

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