(本小题满分13分)已知函数在
处取得极值
.
(1)求的解析式;
(2)设是曲线
上除原点
外的任意一点,过
的中点且垂直于
轴的直线交曲线于点
,试问:是否存在这样的点
,使得曲线在点
处的切线与
平行?若存在,求出点
的坐标;若不存在,说明理由;
(3)设函数,若对于任意
,总存在
,使得
,求实数
的取值范围.
(本小题满分13分)如图,椭圆的中心在坐标原点,长轴端点为、
,右焦点为
,且
,
.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)过椭圆的右焦点作直线
、
,直线
与椭圆分别交于点
、
,直线
与椭圆分别交于点
、
,且
,求四边形
的面积
的最小值.
(本小题满分13分)某学校实验室有浓度为和
的两种
溶液.在使用之前需要重新配制溶液,具体操作方法为取浓度为
和
的两种
溶液各
分别装入两个容积都为
的锥形瓶
中,先从瓶
中取出
溶液放入
瓶中,充分混合后,再从
瓶中取出
溶液放入
瓶中,再充分混合.以上两次混合过程完成后算完成一次操作.设在完成第
次操作后,
瓶中溶液浓度为
,
瓶中溶液浓度为
.
(1)请计算,并判定数列
是否为等比数列?若是,求出其通项公式;若不是,请说明理由;
(2)若要使得两个瓶中的溶液浓度之差小于
,则至少要经过几次?
(本小题满分12分)如图,在三棱柱中,
侧面
,已知
,
,
,
.
(1)求证:平面
;
(2)当点为棱
的中点时,求
与平面
所成的角的正弦值.
(本小题满分12分)已知某山区小学有100名四年级学生,将全体四年级学生随机按00~99编号,并且按编号顺序平均分成10组.现要从中抽取10名学生,各组内抽取的编号按依次增加10进行系统抽样.
(1)若抽出的一个号码为22,则此号码所在的组数是多少?据此写出所有被抽出学生的号码;
(2)分别统计这10名学生的数学成绩,获得成绩数据的茎叶图如图所示,从这10名学生中随机抽取两名成绩不低于73分的学生, 求被抽取到的两名学生的成绩之和不小于154分的概率.