在平面直角坐标系 $xOy$ 上，给定抛物线 $L:y=\frac{1}{4}{x}^2$ ．实数 $p,q$ 满足 $p^2-4q\ge 0$ , $x_1,x_2$ 是方程 $x^2-px+q=0$ 的两根，记 $\phi (p,q)=max\left\{\left|x_1\right|,\left|x_2\right|\right\}$

（1）过点 $A(p_0,\frac{1}{4}{p_0}^2)(p_0\ne 0)$ 作 $L$ 的切线教 $y$ 轴于点 $B$ ．证明：对线段 $AB$ 上任一点 $Q(p,q)$ 有 $\phi (p,q)=\frac{\left|p_0\right|}{2}$ ;

（2）设 $M(a,b)$ 是定点，其中 $a,b$ 满足 $a^2-4b>0$ , $a\ne 0$ .过 $M(a,b)$ 作 $L$ 的两条切线 $l_1,l_2$ ，切点分别为 $E\left(p_{1,}\frac{1}{4}{p_1}^2\right)$ ， $E^{`}\left(p_2,\frac{1}{4}{p_2}^2\right)$ $l_1,l_2$ 与y轴分别交与 $F,F`$ .线段 $EF$ 上异于两端点的点集记为 $X$ ．证明： $M(a,b)\in X\iff \left|P_1\right|>\left|P_2\right|\iff \phi (a,b)=\frac{\left|p_1\right|}{2}$ ;

（3）设 $D=\left\{(x,y)|y\le x-1,y\ge \frac{1}{4}(x+1{)}^2-\frac{5}{4}\right\}$ ．当点 $(p,q)$ 取遍 $D$ 时，求 $\phi (p,q)$ 的最小值 （记为 ${\phi }_{min}$ ）和最大值（记为 ${\phi }_{max}$ ）．

科目 数学   题型 解答题   难度 中等