计算：20110－＋︱－3︱．-优题课

某数学兴趣小组研究我国古代《算法统宗》里这样一首诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房．

（1）求该店有客房多少间？房客多少人？

（2）假设店主李三公将客房进行改造后，房间数大大增加．每间客房收费20钱，且每间客房最多入住4人，一次性订客房18间以上（含18间），房费按8折优惠．若诗中“众客”再次一起入住，他们如何订房更合算？

解不等式 $\frac{1 + x}{3} < x - 1$ ，并将解集在数轴上表示出来．

解方程： $\frac{2}{x} - \frac{1}{1 + x} = 0$ ．

计算： ${(- 1)}^{2016} - {(2 - \sqrt{3})}^{0} + \sqrt{25}$ ．

问题背景：

如图①，在四边形 $ADBC$ 中， $∠ ACB = ∠ ADB = 90 °$ ， $AD = BD$ ，探究线段 $AC$ ， $BC$ ， $CD$ 之间的数量关系．

小吴同学探究此问题的思路是：将 $ΔBCD$ 绕点 $D$ ，逆时针旋转 $90 °$ 到 $ΔAED$ 处，点 $B$ ， $C$ 分别落在点 $A$ ， $E$ 处（如图② $)$ ，易证点 $C$ ， $A$ ， $E$ 在同一条直线上，并且 $ΔCDE$ 是等腰直角三角形，所以 $CE = \sqrt{2} CD$ ，从而得出结论： $AC + BC = \sqrt{2} CD$ ．

简单应用：

（1）在图①中，若 $AC = \sqrt{2}$ ， $BC = 2 \sqrt{2}$ ，则 $CD =$ 　　．

（2）如图③， $AB$ 是 $⊙ O$ 的直径，点 $C$ 、 $D$ 在 $⊙$ 上， $\hat{AD} = \hat{BD}$ ，若 $AB = 13$ ， $BC = 12$ ，求 $CD$ 的长．

拓展规律：

（3）如图④， $∠ ACB = ∠ ADB = 90 °$ ， $AD = BD$ ，若 $AC = m$ ， $BC = n (m < n)$ ，求 $CD$ 的长（用含 $m$ ， $n$ 的代数式表示）

（4）如图⑤， $∠ ACB = 90 °$ ， $AC = BC$ ，点 $P$ 为 $AB$ 的中点，若点 $E$ 满足 $AE = \frac{1}{3} AC$ ， $CE = CA$ ，点 $Q$ 为 $AE$ 的中点，则线段 $PQ$ 与 $AC$ 的数量关系是　　．