如图8,AE是位于公路边的电线杆，为了使拉线CDE不影响汽车-优题课

如图8,AE是位于公路边的电线杆，为了使拉线CDE不影响汽车的正常行驶，电力部门在公路的另一边竖立了一根水泥撑杆BD，用于撑起拉线．已知公路的宽AB为8米，电线杆AE的高为12米，水泥撑杆BD高为6米，拉线CD与水平线AC的夹角为67.4°．求拉线CDE的总长L（A、B、C三点在同一直线上，电线杆、水泥杆的大小忽略不计）．
(参考数据:sin67.4°≈ ,cos67.4°≈ ,tan67.4°≈)

科目数学题型解答题难度中等

知识点：解直角三角形

如图，在 $△ ABC$ 中， $∠ ACB = 90^{\circ} ， CD ⊥ AB$ 于点 $D ， CD = 1$ ，已知 $AD ， BD$ 的长是关于 $x$ 的方程 $x^{2} + px + q = 0$ 的两根，且 $\tan A - \tan B = 2$ ，求 $p ， q$ 的值.

如图①，在， $Rt △ ABC$ 中，以下是小亮探究 $\frac{a}{\sin A}$ 与 $\frac{b}{\sin B}$ 之间关系的方法:

$∵ \sin A = \frac{a}{c} ， \sin B = \frac{b}{c} ， ∴ c = \frac{a}{\sin A} ， c = \frac{b}{\sin B} ， ∴ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} .$

根据你掌握的三角函数知识.在图②）的锐角 $△ ABC$ 中，探究 $\frac{a}{\sin A} ， \frac{b}{\sin B} ， \frac{c}{\sin C}$ 之间的关系，并写出探究过程.

在 $Rt △ ABC$ 中， $∠ ACB = 90^{\circ} ， ∠ ABC = α$ ，点 $P$ 在 $△ ABC$ 的内部.

（1）如图①， $AB = 2 AC ， PB = 3$ ，点 $M ， N$ 分别在 $AB ， BC$ 边上，则 $\cos α =________， △ PMN$ 周长的最小值为________.

（2）如图②，若条件 $AB = 2 AC$ 不变，而 $PA = \sqrt{2} ， PB = \sqrt{10} ， PC = 1$ ，求 $△ ABC$ 的面积；

（3）若 $PA = m ， PB = n ， PC = k$ ，且 $k = m \cos α = n \sin α$ ，直接写出 $∠ APB$ 的度数.

如图，一架飞机由 $A$ 向 $B$ 沿水平直线方向飞行，在航线 $AB$ 的正下方有两个山头 $C ， D$ .飞机在 $A$ 处时，测得山头 $D$ 恰好在飞机的正下方，山头 $C$ 在飞机前方，俯角为 $30^{\circ}$ .飞机飞行了 $6 km$ 到 $B$ 处时，往后测得山头 $C ， D$ 的俯角分别为 $60^{\circ}$ 和 $30^{\circ}$ .已知山头 $D$ 的海拔高度为 $1 km$ ，求山头 $C$ 的海拔高度.（精确到 $0.01 km$ ，已知 $\sqrt{3} \approx 1.732$ ）

南海诸岛自古以来都是中国的领土，4月12日，中央军委在南海海域隆重举行海上阅兵，军委主席登上长沙舰检阅海军舰艇编队，包括辽宁号航母在内的48艘舰艇参加了阅兵仪式.如图， $A ， B$ 是两处海港，其中 $A$ 在 $B$ 东偏南 $30^{\circ}$ 方向 $30 \sqrt{2} km$ 处，辽宁号航母从海港 $A$ 出发，沿东偏北 $45^{\circ}$ 方向，以 $15 km / h$ 的速度匀速航行，两小时后，长沙舰从海港 $B$ 出发，沿东偏北 $15^{\circ}$ 的方向匀速航行，两舰恰好同时到达阅兵地点 $C$ .

（1）长沙舰从海港出发航行到达阅兵地点用了多长时间?

（2）求长沙舰的航行速度（结果保留根号）.

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