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在平面直角坐标系 $xOy$ 中（如图）．已知抛物线 $y = - \frac{1}{2} x^{2} + bx + c$ 经过点 $A (- 1, 0)$ 和点 $B (0, \frac{5}{2})$ ，顶点为 $C$ ，点 $D$ 在其对称轴上且位于点 $C$ 下方，将线段 $DC$ 绕点 $D$ 按顺时针方向旋转 $90 °$ ，点 $C$ 落在抛物线上的点 $P$ 处．

（1）求这条抛物线的表达式；

（2）求线段 $CD$ 的长；

（3）将抛物线平移，使其顶点 $C$ 移到原点 $O$ 的位置，这时点 $P$ 落在点 $E$ 的位置，如果点 $M$ 在 $y$ 轴上，且以 $O$ 、 $D$ 、 $E$ 、 $M$ 为顶点的四边形面积为8，求点 $M$ 的坐标．

已知：如图，正方形 $ABCD$ 中， $P$ 是边 $BC$ 上一点， $BE ⊥ AP$ ， $DF ⊥ AP$ ，垂足分别是点 $E$ 、 $F$ ．

（1）求证： $EF = AE - BE$ ；

（2）连接 $BF$ ，如果 $\frac{AF}{BF} = \frac{DF}{AD}$ ．求证： $EF = EP$ ．

一辆汽车在某次行驶过程中，油箱中的剩余油量 $y$ （升 $)$ 与行驶路程 $x$ （千米）之间是一次函数关系，其部分图象如图所示．

（1）求 $y$ 关于 $x$ 的函数关系式；（不需要写定义域）

（2）已知当油箱中的剩余油量为8升时，该汽车会开始提示加油，在此次行驶过程中，行驶了500千米时，司机发现离前方最近的加油站有30千米的路程，在开往该加油站的途中，汽车开始提示加油，这时离加油站的路程是多少千米？

如图，已知 $ΔABC$ 中， $AB = BC = 5$ ， $\tan ∠ ABC = \frac{3}{4}$ ．

（1）求边 $AC$ 的长；

（2）设边 $BC$ 的垂直平分线与边 $AB$ 的交点为 $D$ ，求 $\frac{AD}{DB}$ 的值．

如图，已知 $⊙ O$ 的半径长为1， $AB$ 、 $AC$ 是 $⊙ O$ 的两条弦，且 $AB = AC$ ， $BO$ 的延长线交 $AC$ 于点 $D$ ，联结 $OA$ 、 $OC$ ．

（1）求证： $ΔOAD ∽ ΔABD$ ；

（2）当 $ΔOCD$ 是直角三角形时，求 $B$ 、 $C$ 两点的距离；

（3）记 $ΔAOB$ 、 $ΔAOD$ 、 $ΔCOD$ 的面积分别为 $S_{1}$ 、 $S_{2}$ 、 $S_{3}$ ，如果 $S_{2}$ 是 $S_{1}$ 和 $S_{3}$ 的比例中项，求 $OD$ 的长．