解方程：2x27x60-优题课

如图，在直角坐标系中，已知点 $B (4, 0)$ ，等边三角形 $OAB$ 的顶点 $A$ 在反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象上．

（1）求反比例函数的表达式．

（2）把 $ΔOAB$ 向右平移 $a$ 个单位长度，对应得到△ $O^{'} A^{'} B^{'}$ 当这个函数图象经过△ $O^{'} A^{'} B^{'}$ 一边的中点时，求 $a$ 的值．

如图，在矩形 $ABCD$ 中，点 $E$ ， $F$ 在对角线 $BD$ ．请添加一个条件，使得结论“ $AE = CF$ ”成立，并加以证明．

小明解答“先化简，再求值： $\frac{1}{x + 1} + \frac{2}{x^{2} - 1}$ ，其中 $x = \sqrt{3} + 1$ ．”的过程如图．请指出解答过程中错误步骤的序号，并写出正确的解答过程．

如图1，已知在平面直角坐标系 $xOy$ 中，四边形 $OABC$ 是矩形，点 $A$ ， $C$ 分别在 $x$ 轴和 $y$ 轴的正半轴上，连结 $AC$ ， $OA = 3$ ， $\tan ∠ OAC = \frac{\sqrt{3}}{3}$ ， $D$ 是 $BC$ 的中点．

（1）求 $OC$ 的长和点 $D$ 的坐标；

（2）如图2， $M$ 是线段 $OC$ 上的点， $OM = \frac{2}{3} OC$ ，点 $P$ 是线段 $OM$ 上的一个动点，经过 $P$ ， $D$ ， $B$ 三点的抛物线交 $x$ 轴的正半轴于点 $E$ ，连结 $DE$ 交 $AB$ 于点 $F$ ．

①将 $ΔDBF$ 沿 $DE$ 所在的直线翻折，若点 $B$ 恰好落在 $AC$ 上，求此时 $BF$ 的长和点 $E$ 的坐标；

②以线段 $DF$ 为边，在 $DF$ 所在直线的右上方作等边 $ΔDFG$ ，当动点 $P$ 从点 $O$ 运动到点 $M$ 时，点 $G$ 也随之运动，请直接写出点 $G$ 运动路径的长．

已知在平面直角坐标系 $xOy$ 中，直线 $l_{1}$ 分别交 $x$ 轴和 $y$ 轴于点 $A (- 3, 0)$ ， $B (0, 3)$ ．

（1）如图1，已知 $⊙ P$ 经过点 $O$ ，且与直线 $l_{1}$ 相切于点 $B$ ，求 $⊙ P$ 的直径长；

（2）如图2，已知直线 $l_{2} : y = 3 x - 3$ 分别交 $x$ 轴和 $y$ 轴于点 $C$ 和点 $D$ ，点 $Q$ 是直线 $l_{2}$ 上的一个动点，以 $Q$ 为圆心， $2 \sqrt{2}$ 为半径画圆．

①当点 $Q$ 与点 $C$ 重合时，求证：直线 $l_{1}$ 与 $⊙ Q$ 相切；

②设 $⊙ Q$ 与直线 $l_{1}$ 相交于 $M$ ， $N$ 两点，连结 $QM$ ， $QN$ ．问：是否存在这样的点 $Q$ ，使得 $ΔQMN$ 是等腰直角三角形，若存在，求出点 $Q$ 的坐标；若不存在，请说明理由．