如图，某广场设计的一建筑物造型的纵截面是抛物线的一部分，抛物-优题课

已知抛物线 $y = x^{2} - bx + c (b$ ， $c$ 为常数， $b > 0)$ 经过点 $A (- 1, 0)$ ，点 $M (m, 0)$ 是 $x$ 轴正半轴上的动点．

（Ⅰ）当 $b = 2$ 时，求抛物线的顶点坐标；

（Ⅱ）点 $D (b, y_{D})$ 在抛物线上，当 $AM = AD$ ， $m = 5$ 时，求 $b$ 的值；

（Ⅲ）点 $Q (b + \frac{1}{2}$ ， $y_{Q})$ 在抛物线上，当 $\sqrt{2} AM + 2 QM$ 的最小值为 $\frac{33 \sqrt{2}}{4}$ 时，求 $b$ 的值．

在平面直角坐标系中， $O$ 为原点，点 $A (6, 0)$ ，点 $B$ 在 $y$ 轴的正半轴上， $∠ ABO = 30 °$ ．矩形 $CODE$ 的顶点 $D$ ， $E$ ， $C$ 分别在 $OA$ ， $AB$ ， $OB$ 上， $OD = 2$ ．

（Ⅰ）如图①，求点 $E$ 的坐标；

（Ⅱ）将矩形 $CODE$ 沿 $x$ 轴向右平移，得到矩形 $C' O' D' E'$ ，点 $C$ ， $O$ ， $D$ ， $E$ 的对应点分别为 $C'$ ， $O'$ ， $D'$ ， $E'$ ．设 $OO' = t$ ，矩形 $C' O' D' E'$ 与 $ΔABO$ 重叠部分的面积为 $S$ ．

①如图②，当矩形 $C' O' D' E'$ 与 $ΔABO$ 重叠部分为五边形时， $C' E'$ ， $E' D'$ 分别与 $AB$ 相交于点 $M$ ， $F$ ，试用含有 $t$ 的式子表示 $S$ ，并直接写出 $t$ 的取值范围；

②当 $\sqrt{3} ⩽ S ⩽ 5 \sqrt{3}$ 时，求 $t$ 的取值范围（直接写出结果即可）．

甲、乙两个批发店销售同一种苹果，在甲批发店，不论一次购买数量是多少，价格均为6元 $/ kg$ ．在乙批发店，一次购买数量不超过 $50 kg$ 时，价格为7元 $/ kg$ ；一次购买数量超过 $50 kg$ 时，其中有 $50 kg$ 的价格仍为7元 $/ kg$ ，超过 $50 kg$ 部分的价格为5元 $/ kg$ ．设小王在同一个批发店一次购买苹果的数量为 $xkg (x > 0)$ ．

（Ⅰ）根据题意填表：

一次购买数量 $/ kg$	30	50	150	$\dots$
甲批发店花费 $/$ 元		300		$\dots$
乙批发店花费 $/$ 元		350		$\dots$

（Ⅱ）设在甲批发店花费 $y_{1}$ 元，在乙批发店花费 $y_{2}$ 元，分别求 $y_{1}$ ， $y_{2}$ 关于 $x$ 的函数解析式；

（Ⅲ）根据题意填空：

①若小王在甲批发店和在乙批发店一次购买苹果的数量相同，且花费相同，则他在同一个批发店一次购买苹果的数量为　　 $kg$ ；

②若小王在同一个批发店一次购买苹果的数量为 $120 kg$ ，则他在甲、乙两个批发店中的　　批发店购买花费少；

③若小王在同一个批发店一次购买苹果花费了360元，则他在甲、乙两个批发店中的　　批发店购买数量多．

如图，海面上一艘船由西向东航行，在 $A$ 处测得正东方向上一座灯塔的最高点 $C$ 的仰角为 $31 °$ ，再向东继续航行 $30 m$ 到达 $B$ 处，测得该灯塔的最高点 $C$ 的仰角为 $45 °$ ，根据测得的数据，计算这座灯塔的高度 $CD$ （结果取整数）．

参考数据： $\sin 31 ° \approx 0.52$ ， $\cos 31 ° \approx 0.86$ ， $\tan 31 ° \approx 0.60$ ．

已知 $PA$ ， $PB$ 分别与 $⊙ O$ 相切于点 $A$ ， $B$ ， $∠ APB = 80 °$ ， $C$ 为 $⊙ O$ 上一点．

（Ⅰ）如图①，求 $∠ ACB$ 的大小；

（Ⅱ）如图②， $AE$ 为 $⊙ O$ 的直径， $AE$ 与 $BC$ 相交于点 $D$ ．若 $AB = AD$ ，求 $∠ EAC$ 的大小．