已知直线yx4与x轴、y轴分别交于A、B两点，∠ABC60°-优题课

已知直线y=x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，∠ABC=60°，BC与x轴交于点C．
（1）试确定直线BC的解析式．
（2）若动点P从A点出发沿AC向点C运动（不与A、C重合），同时动点Q从C点出发沿CBA向点A运动（不与C、A重合），动点P的运动速度是每秒1个单位长度，动点Q的运动速度是每秒2个单位长度．设△APQ的面积为S，P点的运动时间为t秒，求S与t的函数关系式，并写出自变量的取值范围．
（3）在（2）的条件下，当△APQ的面积最大时，y轴上有一点M，平面内是否存在一点N，使以A、Q、M、N为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出N点的坐标；若不存在，请说明理由．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：一次函数的最值

如图，四边形 $ABCD$ 是矩形．

（1）用尺规作线段 $AC$ 的垂直平分线，交 $AB$ 于点 $E$ ，交 $CD$ 于点 $F$ （不写作法，保留作图痕迹）；

（2）若 $BC = 4$ ， $∠ BAC = 30 °$ ，求 $BE$ 的长．

先化简，再求值： $\frac{1}{x - y} (\frac{2 y}{x + y} - 1) \div \frac{1}{y^{2} - x^{2}}$ ，其中 $x = y + 2019$ ．

解不等式组： $\{\begin{matrix} x - 3 (x - 2) ⩾ - 4, \\ x - 1 < \frac{2 x + 1}{3} . \end{matrix}$

已知抛物线 $y = a x^{2} + bx - 4$ 经过点 $A (2, 0)$ 、 $B (- 4, 0)$ ，与 $y$ 轴交于点 $C$ ．

（1）求这条抛物线的解析式；

（2）如图1，点 $P$ 是第三象限内抛物线上的一个动点，当四边形 $ABPC$ 的面积最大时，求点 $P$ 的坐标；

（3）如图2，线段 $AC$ 的垂直平分线交 $x$ 轴于点 $E$ ，垂足为 $D$ ， $M$ 为抛物线的顶点，在直线 $DE$ 上是否存在一点 $G$ ，使 $ΔCMG$ 的周长最小？若存在，求出点 $G$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

如图1，在 $Rt Δ ABC$ 中， $∠ B = 90 °$ ， $AB = 4$ ， $BC = 2$ ，点 $D$ 、 $E$ 分别是边 $BC$ 、 $AC$ 的中点，连接 $DE$ ．将 $ΔCDE$ 绕点 $C$ 逆时针方向旋转，记旋转角为 $α$ ．

（1）问题发现

①当 $α = 0 °$ 时， $\frac{AE}{BD} =$ 　　；

②当 $α = 180 °$ 时， $\frac{AE}{BD} =$ 　　．

（2）拓展探究

试判断：当 $0 ° ⩽ α < 360 °$ 时， $\frac{AE}{BD}$ 的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明．

（3）问题解决

$ΔCDE$ 绕点 $C$ 逆时针旋转至 $A$ 、 $B$ 、 $E$ 三点在同一条直线上时，求线段 $BD$ 的长．

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