（11·丹东）（本题10分）数学兴趣小组想利用所学的知识了解-优题课

在学习矩形的过程中，小明遇到了一个问题：在矩形ABCD中，E是AD边上的一点，试说明△BCE的面积与矩形ABCD的面积之间的关系．他的思路是：首先过点E作BC的垂线，将其转化为证明三角形全等，然后根据全等三角形的面积相等使问题得到解决．请根据小明的思路完成下面的作图与填空：

证明：用直尺和圆规，过点E作BC的垂线EF，垂足为F（只保留作图痕迹）．

在△BAE和△EFB中，

∵EF⊥BC，

∴∠EFB＝90°．

又∠A＝90°，

∴　　①

∵AD∥BC，

∴　　②

又　　③

∴△BAE≌△EFB（AAS）．

同理可得　　④

∴ $S_{△ BCE} = S_{△ EFB} + S_{△ EFC} = \frac{1}{2} S_{矩形 ABFE} + \frac{1}{2} S_{矩形 EFCD} = \frac{1}{2} S_{矩形 ABCD}$ ．

在平面直角坐标系中，抛物线 $y ＝ x^{2} ﹣ 2 x ﹣ 3$ 与 $x$ 轴相交于点 $A ， B$ （点 $A$ 在点 $B$ 的左侧），与 $y$ 轴相交于点 $C$ ，连接 $A C$ ．

（1）求点 $B$ ，点 $C$ 的坐标；

（2）如图1，点 $E （ m ， 0 ）$ 在线段 $O B$ 上（点 $E$ 不与点 $B$ 重合），点 $F$ 在 $y$ 轴负半轴上， $O E ＝ O F$ ，连接 $A F ， B F ， E F$ ，设 $△ A C F$ 的面积为 $S_{1}$ ， $△ B E F$ 的面积为 $S_{2}$ ， $S ＝ S_{1} + S_{2}$ ，当 $S$ 取最大值时，求 $m$ 的值；

（3）如图2，抛物线的顶点为 $D$ ，连接 $C D ， B C$ ，点 $P$ 在第一象限的抛物线上， $P D$ 与 $B C$ 相交于点 $Q$ ，是否存在点 $P$ ，使 $∠ P Q C ＝ ∠ A C D$ ，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

综合与实践

问题情境：数学活动课上，王老师出示了一个问题：

如图1，在 $△ A B C$ 中， $D$ 是 $A B$ 上一点， $∠ A D C ＝ ∠ A C B$ ．求证 $∠ A C D ＝ ∠ A B C$ ．

独立思考：（1）请解答王老师提出的问题．

实践探究：（2）在原有问题条件不变的情况下，王老师增加下面的条件，并提出新问题，请你解答．

“如图2，延长 $C A$ 至点 $E$ ，使 $C E ＝ B D$ ， $B E$ 与 $C D$ 的延长线相交于点 $F$ ，点 $G ， H$ 分别在 $B F 、 B C$ 上， $B G ＝ C D ， ∠ B G H ＝ ∠ B C F$ ．在图中找出与 $B H$ 相等的线段，并证明．”

问题解决：（3）数学活动小组同学对上述问题进行特殊化研究之后发现，当 $∠ B A C ＝ 90 °$ 时，若给出 $△ A B C$ 中任意两边长，则图3中所有已经用字母标记的线段长均可求．该小组提出下面的问题，请你解答．

“如图3，在（2）的条件下，若 $∠ B A C ＝ 90 ° ， A B ＝ 4 ， A C ＝ 2$ ，求 $B H$ 的长．”

如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B ＝ 90 °$ ， $B C ＝ 4$ ，点 $D$ 在 $A C$ 上， $C D ＝ 3$ ，连接 $D B$ ， $A D ＝ D B$ ，点 $P$ 是边 $A C$ 上一动点（点 $P$ 不与点 $A ， D ， C$ 重合），过点 $P$ 作 $A C$ 的垂线，与 $A B$ 相交于点 $Q$ ，连接 $D Q$ ，设 $A P ＝ x$ ， $△ P D Q$ 与 $△ A B D$ 重叠部分的面积为 $S$ ．

（1）求 $A C$ 的长；

（2）求 $S$ 关于 $x$ 的函数解析式，并直接写出自变量 $x$ 的取值范围．

$A B$ 是 $⊙ O$ 的直径， $C$ 是 $⊙ O$ 上一点， $O D ⊥ B C$ ，垂足为 $D$ ，过点 $A$ 作 $⊙ O$ 的切线，与 $D O$ 的延长线相交于点 $E$ ．

（1）如图1，求证 $∠ B ＝ ∠ E$ ；

（2）如图2，连接 $A D$ ，若 $⊙ O$ 的半径为 $2$ ， $O E ＝ 3$ ，求 $A D$ 的长．