如图，在直三棱柱
中，
，
，
为棱
上的一点，
分别为
、
的重心．
（1）求证：
；
（2）若二面角
的正切值为
，求两个半平面
、
所成锐二面角的余弦值；
（可选）若点
在平面的射影正好为
,试判断
在平面的射影是否为
．
已知函数
，
且函数
的图象相邻两条对称轴之间的距离为
（Ⅰ）求
的值；
（Ⅱ）若函数
在区间
上单调递增，求k的取值范围.
某种新产品投放市场的100天中，前40天价格呈直线上升，而后60天其价格呈直线下降，现统计出其中4天的价格如下表：
| 时间 |
第4天 |
第32天 |
第60天 |
第90天 |
| 价格（千元） |
23 |
30 |
22 |
7 |
（1）、写出价格
关于时间
的函数关系式（表示投放市场的第天）
（2）、销售量
与时间的函数关系为：
，则该产品投放市场第几天销售额最高？最高为多少千元？
已知向量
与
互相垂直，其中
（1）求
和
的值
（2）若
，
,求
的值
已知集合
，
，
，
（1）求
；（2）若
，求实数
的取值范围．
如图，已知椭圆
的离心率为
，以该椭圆上的点和椭圆的左右焦点F1、F2为顶点的三角形的周长为
。一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P为该双曲线上异于顶点的任一点，直线PF1和PF2与椭圆的焦点分别为A、B和C、D。
（Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程
（Ⅱ）设直线PF1、PF2的斜率分别为k1、k2，证明：k1·k2=1
（Ⅲ）是否存在常数
，使得|AB|+|CD|=|AB|·|CD|恒成立？若存在，求的值，若不存在，请说明理由。