（本小题满分12分）设数列｛an｝的首项a1∈（0,1），a-优题课

题文

（本小题满分12分）
设数列｛a_n｝的首项a₁∈（0,1），a_n+1=（n∈N₊）
（I）求｛a_n｝的通项公式
（II）设b_n=a_n_，判断数列｛b_n｝的单调性，并证明你的结论

科目数学题型解答题难度中等

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设 $p, q$ 为实数, $α, β$ 是方程 $x^{2} - p x + q = 0$ 的两个实根,数列 $\{x_{n}\}$ 满足 $x_{1} = p$ , $x_{2} = p^{2} - q$ , $x_{n} = p x_{n - 1} - q x_{n - 2} (n = 3, 4, . . .)$ .
（1）证明: $α + β = p$ , $α β = q$

（2）求数列 $\{x_{n}\}$ 的通项公式;
（3）若 $p = 1, q = \frac{1}{4}$ ,求 $\{x_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

如图所示,四棱锥 $P - A B C D$ 的底面 $A B C D$ 是半径为 $R$ 的圆的内接四边形,其中 $B D$ 是圆的直径, $∠ A B D = 60^{°}$ , $∠ B D C = 45^{°}$ , $P D$ 垂直底面 $A B C D$ , $P D = 2 \sqrt{2} R, E, F$ 分别是 $P B, C D$ 上的点,且 $\frac{P E}{E B} = \frac{D F}{F C}$ ,过点 $E$ 作 $B C$ 的平行线交 $P C$ 于 $G$ .
（1）求 $B D$ 与平面 $A B P$ 所成角 $θ$ 的正弦值
（2）证明: $△ E F G$ 是直角三角形；
（3）当 $\frac{P E}{E B} = \frac{1}{2}$ 时,求 $△ E F G$ 的面积.

设 $k \in R$ 函数 $f (x) = \{\begin{cases} \frac{1}{1 - x}, & x < 1, \\ - \sqrt{x - 1}, & x \geq 1, \end{cases}$ $F (x) = f (x) - k x, x \in R$ 试讨论函数 $F (x)$ 的单调性。

设 $b > 0$ ,椭圆方程为 $\frac{x^{2}}{2 b^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ ,抛物线方程为 $x^{2} = 8 (y - b)$ .如图所示，过点 $F (0, b + 2)$ 作 $x$ 轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为 $G$ .已知抛物线在点 $G$ 的切线经过椭圆的右焦点 $F_{1}$ 。

（1）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程；
（2）设 $A, B$ 分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点 $P$ ，使得 $∆ A B P$ 为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由(不必具体求出这些点的坐标) 。

随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件.已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元。设1件产品的利润(单位：万元)为 $ζ$ 。
（1）求 $ζ$ 的分布列；
（2）求1件产品的平均利润(即 $ζ$ 的数学期望)；
（3）经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1%，一等品提高为70%.如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？

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