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(本小题满分12分)设函数
(1)当时,求的单调区间。
(2)若上的最大值为,求的值。

科目 数学   题型 解答题   难度 中等
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设曲线 2 x 2 + 2 x y + y 2 = 1 在矩阵 A = a 0 b 1 a > 0 对应的变换作用下得到的曲线为 x 2 + y 2 = 1 .

(Ⅰ)求实数 a , b 的值
(Ⅱ)求 A 2 的逆矩阵

已知函数 f ( x ) = e x + a x 2 - e x , a R .
(Ⅰ)若曲线 y = f ( x ) 在点 ( 1 , f ( 1 ) ) 处的切线平行于 x 轴,求函数 f ( x ) 的单调区间;
(Ⅱ)试确定 a 的取值范围,使得曲线 y = f ( x ) 上存在唯一的点 P ,曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点 P .

如图,椭圆 E x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 ( a > b > 0 ) 的左焦点为 F 1 ,右焦点为 F 2 ,离心率 e = 1 2 。过 F 1 的直线交椭圆于 A , B 两点,且 A B F 2 的周长为8
image.png

(Ⅰ)求椭圆 E 的方程。
(Ⅱ)设动直线 l y = k x + m 与椭圆 E 有且只有一个公共点 P ,且与直线 x = 4 相较于点 Q 。试探究:在坐标平面内是否存在定点 M ,使得以 P Q 为直径的圆恒过点 M ?若存在,求出点 M 的坐标;若不存在,说明理由

如图,在长方体 A B C D - A 1 B 1 C 1 D 1 A A 1 = A D = 1 , E C D 中点.

image.png

(Ⅰ)求证: B 1 E A D 1
(Ⅱ)在棱 A A 1 上是否存在一点 P ,使得 D P 平面 B 1 A E ?若存在,求 A P 的长;若不存在,说明理由.
(Ⅲ)若二面角 A - B 1 E A 1 的大小为 30 ° ,求 A B 的长.

某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数。
(1) sin 2 13 ° + cos 2 17 ° - sin 13 ° cos 17 °

(2) sin 2 15 ° + cos 2 15 ° - sin 15 ° cos 15 °

(3) sin 2 18 ° + cos 2 12 ° - sin 18 ° cos 12 °

(4) sin 2 - 18 ° + cos 2 48 ° - sin 2 - 18 ° cos 2 48 °

(5) sin 2 - 25 ° + cos 2 55 ° - sin 2 - 25 ° cos 2 55 °

(Ⅰ)试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数.
(Ⅱ)根据(Ⅰ)的计算结果,将该同学的发现推广位三角恒等式,并证明你的结论.

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