(12分)2011年2月，某网站作认为我们国家今年的经济状况-优题课

如图，在 $Rt Δ ABC$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $AE$ 平分 $∠ BAC$ 交 $BC$ 于点 $E$ ，点 $D$ 在 $AB$ 上， $DE ⊥ AE$ ， $⊙ O$ 是 $Rt Δ ADE$ 的外接圆，交 $AC$ 于点 $F$ ．

（1）求证： $BC$ 是 $⊙ O$ 的切线；

（2）若 $⊙ O$ 的半径为5， $AC = 8$ ，求 $S_{ΔBDE}$ ．

如图， $ΔAOB$ 中， $∠ ABO = 90 °$ ，边 $OB$ 在 $x$ 轴上，反比例函数 $y = \frac{k}{x} (x > 0)$ 的图象经过斜边 $OA$ 的中点 $M$ ，与 $AB$ 相交于点 $N$ ， $S_{ΔAOB} = 12$ ， $AN = \frac{9}{2}$ ．

（1）求 $k$ 的值；

（2）求直线 $MN$ 的解析式．

阅读以下材料：

苏格兰数学家纳皮尔 $(J$ ． $Npler$ ， $1550 - 1617$ 年）是对数的创始人．他发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉 $(Evler$ ， $1707 - 1783$ 年）才发现指数与对数之间的联系．

对数的定义：一般地，若 $a^{x} = N (a > 0$ 且 $a \neq 1)$ ，那么 $x$ 叫做以 $a$ 为底 $N$ 的对数，记作 $x = \log_{a} N$ ，比如指数式 $2^{4} = 16$ 可以转化为对数式 $4 = \log_{2} 16$ ，对数式 $2 = \log_{3} 9$ 可以转化为指数式 $3^{2} = 9$ ．

我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：

$\log_{a} (M \cdot N) = \log_{a} M + \log_{a} N (a > 0$ ， $a \neq 1$ ， $M > 0$ ， $N > 0)$ ，理由如下：

设 $\log_{a} M = m$ ， $\log_{a} N = n$ ，则 $M = a^{m}$ ， $N = a^{n}$ ，

$∴ M \cdot N = a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}$ ，由对数的定义得 $m + n = \log_{a} (M \cdot N)$ ．

又 $∵ m + n = \log_{a} M + \log_{a} N$ ，

$∴ \log_{a} (M \cdot N) = \log_{a} M + \log_{a} N$ ．

根据上述材料，结合你所学的知识，解答下列问题：

（1）填空：① $\log_{2} 32 =$ 　　，② $\log_{3} 27 =$ 　　，③ $\log_{7} 1 =$ 　　；

（2）求证： $\log_{a} \frac{M}{N} = \log_{a} M - \log_{a} N (a > 0$ ， $a \neq 1$ ， $M > 0$ ， $N > 0)$ ；

（3）拓展运用：计算 $\log_{5} 125 + \log_{5} 6 - \log_{5} 30$ ．

如图，在四边形 $ABCD$ 中， $∠ ADC = ∠ B = 90 °$ ，过点 $D$ 作 $DE ⊥ AB$ 于 $E$ ，若 $DE = BE$ ．

（1）求证： $DA = DC$ ；

（2）连接 $AC$ 交 $DE$ 于点 $F$ ，若 $∠ ADE = 30 °$ ， $AD = 6$ ，求 $DF$ 的长．

王刚同学在学习了解直角三角形及其应用的知识后，尝试根据所学知识测量河对岸大树 $AB$ 的高度，他在点 $C$ 处测得大树顶端 $A$ 的仰角为 $45 °$ ，再从 $C$ 点出发沿斜坡走 $2 \sqrt{10}$ 米到达斜坡上 $D$ 点，在点 $D$ 处测得树顶端 $A$ 的仰角为 $30 °$ ，若斜坡 $CF$ 的坡比为 $i = 1 : 3$ （点 $E$ 、 $C$ 、 $B$ 在同一水平线上）．

（1）求王刚同学从点 $C$ 到点 $D$ 的过程中上升的高度；

（2）求大树 $AB$ 的高度（结果保留根号）．