已知关于x的一元二次方程，是否存在实数k，使得方程有两根分别-优题课

已知关于x的一元二次方程，是否存在实数k，使得方程有两根分别为且满足，若有求出k的值；若没有，请说明理由。

科目数学题型解答题难度中等

知识点：一元二次方程的最值

如图，在 $ΔABC$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $AD$ 平分 $∠ BAC$ 交 $BC$ 于点 $D$ ，点 $O$ 在 $AB$ 上，以点 $O$ 为圆心， $OA$ 为半径的圆恰好经过点 $D$ ，分别交 $AC$ 、 $AB$ 于点 $E$ 、 $F$ ．

（1）试判断直线 $BC$ 与 $⊙ O$ 的位置关系，并说明理由；

（2）若 $BD = 2 \sqrt{3}$ ， $AB = 6$ ，求阴影部分的面积（结果保留 $π)$ ．

为了维护国家主权和海洋权力，海监部门对我国领海实现了常态化巡航管理．如图所示，正在执行巡航任务的海监船以每小时40海里的速度向正东方向航行，在 $A$ 处测得灯塔 $P$ 在北偏东 $60 °$ 方向上，继续航行30分钟后到达 $B$ 处，此时测得灯塔 $P$ 在北偏东 $45 °$ 方向上．

（1）求 $∠ APB$ 的度数；

（2）已知在灯塔 $P$ 的周围25海里内有暗礁，问海监船继续向正东方向航行是否安全？（参考数据： $\sqrt{2} \approx 1.414$ ， $\sqrt{3} \approx 1.732)$

如图所示，一次函数 $y = mx + n (m \neq 0)$ 的图象与反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 的图象交于第二、四象限的点 $A (- 2, a)$ 和点 $B (b, - 1)$ ，过 $A$ 点作 $x$ 轴的垂线，垂足为点 $C$ ， $ΔAOC$ 的面积为4．

（1）分别求出 $a$ 和 $b$ 的值；

（2）结合图象直接写出 $mx + n > \frac{k}{x}$ 中 $x$ 的取值范围；

（3）在 $y$ 轴上取点 $P$ ，使 $PB - PA$ 取得最大值时，求出点 $P$ 的坐标．

为了解天水市民对全市创建全国文明城市工作的满意程度，某中学数学兴趣小组在某个小区内进行了调查统计．将调查结果分为不满意，一般，满意，非常满意四类，回收、整理好全部问卷后，得到下列不完整的统计图．

请结合图中的信息，解决下列问题：

（1）此次调查中接受调查的人数为　　人；

（2）请你补全条形统计图；

（3）扇形统计图中“满意”部分的圆心角为　　度；

（4）该兴趣小组准备从调查结果为“不满意”的4位市民中随机选择2位进行回访，已知这4位市民中有2位男性，2位女性．请用画树状图的方法求出选择回访的市民为“一男一女”的概率．

（1）计算： $4 \sin 60 ° - | \sqrt{3} - 2 | + 2020^{0} - \sqrt{12} + {(\frac{1}{4})}^{- 1}$ ．

（2）先化简，再求值： $\frac{1}{a - 1} - \frac{a - 1}{a^{2} + 2 a + 1} \div \frac{a - 1}{a + 1}$ ，其中 $a = \sqrt{3}$ ．