（本题8分）已知关于的方程的两实根为，且．⑴试用含有的代数式-优题课

（本题8分）已知关于的方程的两实根为，且．
⑴试用含有的代数式表示和；
⑵求证：；
⑶若以为坐标的点在△ABC的三边上运动，且△ABC顶点的坐标分别为A，B，C，问是否存在点M，使，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

科目数学题型解答题难度中等

知识点：一元二次方程的最值

在古代，智慧的劳动人民已经会使用“石磨”，其原理为在磨盘的边缘连接一个固定长度的“连杆”，推动“连杆”带动磨盘转动，将粮食磨碎，物理学上称这种动力传输工具为“曲线连杆机构”.

小明受此启发设计了一个“双连杆机构”，设计图如图①，两个固定长度的“连杆” $AP, BP$ 的连接点 $P$ 在 $⊙ O$ 上，当点 $P$ 在 $⊙ O$ 上转动时，带动点 $A, B$ 分别在射线 $OM, ON$ 上滑动， $OM ⊥ ON$ .当 $AP$ 与 $⊙ O$ 相切时，点 $B$ 恰好落在 $⊙ O$ 上，如图②.请仅就图②的情形解答下列问题.

（1）求证: $∠ PAO = 2 ∠ PBO$ ；

（2）若 $⊙ O$ 的半径为 $5, AP = \frac{20}{3}$ ，求 $BP$ 的长.

如图，已知 $⊙ O$ 是四边形 $ABCD$ 的外接圆，直线 $AD, BC$ 相交于点 $E, F$ 是弦 $CD$ 的中点，延长直线 $EF$ 交弦 $AB$ 于点 $G$ ，求证:

（1） $ED \cdot EA = EC \cdot EB$ ；

（2） $AG : GB = A E^{2} : B E^{2}$ .

如图，已知正方形 $ABCD$ ，点 $E$ 是 $BC$ 边上一点，将 $△ ABE$ 沿直线 $AE$ 折叠，点 $B$ 落在 $F$ 处，连接 $BF$ 并延长，与 $∠ DAF$ 的平分线相交于点 $H$ ，与 $AE, CD$ 分别相交于点 $G$ ， $M$ ，连接 $HC$ .

（1）求证: $AG = GH;$

（2）若 $AB = 3, BE = 1$ ，求点 $D$ 到直线 $BH$ 的距离；

（3）当点 $E$ 在 $BC$ 边上（端点除外）运动时， $∠ BHC$ 的大小是否变化?为什么?

如图所示，在 $△ ABC$ 中， $∠ C = 90^{\circ}, ∠ BAC = 30^{\circ}, BC = 1, D$ 为 $BC$ 边上一点， $tan ∠ ADC$ 是方程 $3 (x^{2} + \frac{1}{x^{2}}) - 5 (x + \frac{1}{x}) = 2$ 的一个较大的根，求 $CD$ 的长

如图，已知 $△ ABC$ 中， $∠ A = 60^{\circ} ， ⊙ O$ 是 $△ ABC$ 的外接圆， $AD$ 是 $BC$ 边上的高， $H$ 是 $△ ABC$ 的垂心，连接 $OA ， OB ， OC$ ，连接 $OH$ 并延长交 $AB$ 于点 $M$ ，交 $AC$ 于点 $N$ ，求证:

（1） $∠ BAD = ∠ OAC$ ；

（2） $AH$ 等于 $△ ABC$ 外接圆半径；

（3） $MH = NO$ .

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