（说明:第二问能用f(x)表达即可,不必算出最结果.）-优题课

在直角坐标系 $xOy$ 中，曲线 $C_{1}$ 的参数方程为 $\{\begin{matrix} x = \sqrt{3} \cos α \\ y = \sin α \end{matrix} (α$ 为参数），以坐标原点为极点，以 $x$ 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 $C_{2}$ 的极坐标方程为 $ρ \sin (θ + \frac{π}{4}) = 2 \sqrt{2}$ ．

（1）写出 $C_{1}$ 的普通方程和 $C_{2}$ 的直角坐标方程；

（2）设点 $P$ 在 $C_{1}$ 上，点 $Q$ 在 $C_{2}$ 上，求 $| PQ |$ 的最小值及此时 $P$ 的直角坐标．

如图， $⊙ O$ 中 $\hat{AB}$ 的中点为 $P$ ，弦 $PC$ ， $PD$ 分别交 $AB$ 于 $E$ ， $F$ 两点．

（1）若 $∠ PFB = 2 ∠ PCD$ ，求 $∠ PCD$ 的大小；

（2）若 $EC$ 的垂直平分线与 $FD$ 的垂直平分线交于点 $G$ ，证明： $OG ⊥ CD$ ．

设函数 $f (x) = a \cos 2 x + (a - 1) (\cos x + 1)$ ，其中 $a > 0$ ，记 $| f (x) |$ 的最大值为 $A$ ．

（Ⅰ）求 $f' (x)$ ；

（Ⅱ）求 $A$ ；

（Ⅲ）证明： $| f' (x) | ⩽ 2 A$ ．

已知抛物线 $C : y^{2} = 2 x$ 的焦点为 $F$ ，平行于 $x$ 轴的两条直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 分别交 $C$ 于 $A$ ， $B$ 两点，交 $C$ 的准线于 $P$ ， $Q$ 两点．

（Ⅰ）若 $F$ 在线段 $AB$ 上， $R$ 是 $PQ$ 的中点，证明 $AR / / FQ$ ；

（Ⅱ）若 $ΔPQF$ 的面积是 $ΔABF$ 的面积的两倍，求 $AB$ 中点的轨迹方程．

如图，四棱锥 $P - ABCD$ 中， $PA ⊥$ 底面 $ABCD$ ， $AD / / BC$ ， $AB = AD = AC = 3$ ， $PA = BC = 4$ ， $M$ 为线段 $AD$ 上一点， $AM = 2 MD$ ， $N$ 为 $PC$ 的中点．

（1）证明： $MN / /$ 平面 $PAB$ ；

（2）求直线 $AN$ 与平面 $PMN$ 所成角的正弦值．