计算（1）（2）-优题课

如图在平面直角坐标系中，直线 $y = - \frac{3}{4} x + 3$ 与 $x$ 轴、 $y$ 轴分别交于 $A$ 、 $B$ 两点，点 $P$ 、 $Q$ 同时从点 $A$ 出发，运动时间为 $t$ 秒．其中点 $P$ 沿射线 $AB$ 运动，速度为每秒4个单位长度，点 $Q$ 沿射线 $AO$ 运动，速度为每秒5个单位长度．以点 $Q$ 为圆心， $PQ$ 长为半径作 $⊙ Q$ ．

（1）求证：直线 $AB$ 是 $⊙ Q$ 的切线；

（2）过点 $A$ 左侧 $x$ 轴上的任意一点 $C (m, 0)$ ，作直线 $AB$ 的垂线 $CM$ ，垂足为 $M$ ．若 $CM$ 与 $⊙ Q$ 相切于点 $D$ ，求 $m$ 与 $t$ 的函数关系式（不需写出自变量的取值范围）；

（3）在（2）的条件下，是否存在点 $C$ ，直线 $AB$ 、 $CM$ 、 $y$ 轴与 $⊙ Q$ 同时相切？若存在，请直接写出此时点 $C$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

荆州市某水产养殖户进行小龙虾养殖．已知每千克小龙虾养殖成本为6元，在整个销售旺季的80天里，销售单价 $p$ （元 $/$ 千克）与时间第 $t$ （天 $)$ 之间的函数关系为：

$p = \{\begin{matrix} \frac{1}{4} t + 16 (1 ⩽ t ⩽ 40, t 为整数) \\ - \frac{1}{2} t + 46 (41 ⩽ t ⩽ 80, t 为整数) \end{matrix}$ ，日销售量 $y$ （千克）与时间第 $t$ （天 $)$ 之间的函数关系如图所示：

（1）求日销售量 $y$ 与时间 $t$ 的函数关系式？

（2）哪一天的日销售利润最大？最大利润是多少？

（3）该养殖户有多少天日销售利润不低于2400元？

（4）在实际销售的前40天中，该养殖户决定每销售1千克小龙虾，就捐赠 $m (m < 7)$ 元给村里的特困户．在这前40天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间 $t$ 的增大而增大，求 $m$ 的取值范围．

已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} + (k - 5) x + 1 - k = 0$ ，其中 $k$ 为常数．

（1）求证：无论 $k$ 为何值，方程总有两个不相等实数根；

（2）已知函数 $y = x^{2} + (k - 5) x + 1 - k$ 的图象不经过第三象限，求 $k$ 的取值范围；

（3）若原方程的一个根大于3，另一个根小于3，求 $k$ 的最大整数值．

如图，某数学活动小组为测量学校旗杆 $AB$ 的高度，沿旗杆正前方 $2 \sqrt{3}$ 米处的点 $C$ 出发，沿斜面坡度 $i = 1 : \sqrt{3}$ 的斜坡 $CD$ 前进 4 米到达点 $D$ ，在点 $D$ 处安置测角仪，测得旗杆顶部 $A$ 的仰角为 $37 °$ ，量得仪器的高 $DE$ 为 1.5 米．已知 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 、 $E$ 在同一平面内， $AB ⊥ BC$ ， $AB / / DE$ ．求旗杆 $AB$ 的高度．（参考数据： $\sin 37 ° \approx \frac{3}{5}$ ， $\cos 37 ° \approx \frac{4}{5}$ ， $\tan 37 ° \approx \frac{3}{4}$ ．计算结果保留根号）

（1）解方程组： $\{\begin{matrix} y = 2 x - 3 \\ 3 x + 2 y = 8 \end{matrix}$

（2）先化简，再求值： $\frac{x + 1}{x - 1} - \frac{1}{x^{2} - 1} \div \frac{1}{x + 1}$ ，其中 $x = 2$ ．