(满分l2分)如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ABC90-优题课

【操作发现】

（1）如图1， $ΔABC$ 为等边三角形，先将三角板中的 $60 °$ 角与 $∠ ACB$ 重合，再将三角板绕点 $C$ 按顺时针方向旋转（旋转角大于 $0 °$ 且小于 $30 °)$ ，旋转后三角板的一直角边与 $AB$ 交于点 $D$ ，在三角板斜边上取一点 $F$ ，使 $CF = CD$ ，线段 $AB$ 上取点 $E$ ，使 $∠ DCE = 30 °$ ，连接 $AF$ ， $EF$ ．

①求 $∠ EAF$ 的度数；

② $DE$ 与 $EF$ 相等吗？请说明理由；

【类比探究】

（2）如图2， $ΔABC$ 为等腰直角三角形， $∠ ACB = 90 °$ ，先将三角板的 $90 °$ 角与 $∠ ACB$ 重合，再将三角板绕点 $C$ 按顺时针方向旋转（旋转角大于 $0 °$ 且小于 $45 °)$ ，旋转后三角板的一直角边与 $AB$ 交于点 $D$ ，在三角板另一直角边上取一点 $F$ ，使 $CF = CD$ ，线段 $AB$ 上取点 $E$ ，使 $∠ DCE = 45 °$ ，连接 $AF$ ， $EF$ ．请直接写出探究结果：

① $∠ EAF$ 的度数；

②线段 $AE$ ， $ED$ ， $DB$ 之间的数量关系．

数学兴趣小组研究某型号冷柜温度的变化情况，发现该冷柜的工作过程是：当温度达到设定温度 $- 20^{°} C$ 时，制冷停止，此后冷柜中的温度开始逐渐上升，当上升到 $- 4^{°} C$ 时，制冷开始，温度开始逐渐下降，当冷柜自动制冷至 $- 20^{°} C$ 时，制冷再次停止， $\dots$ ，按照以上方式循环进行．

同学们记录了 $44 \min$ 内15个时间点冷柜中的温度 $y (^{°} C)$ 随时间 $x (\min)$ 的变化情况，制成下表：

时间 $x / \min$	$\dots$	4	8	10	16	20	21	22	23	24	28	30	36	40	42	44	$\dots$
温度 $y /^{°} C$	$\dots$	$- 20$	$- 10$	$- 8$	$- 5$	$- 4$	$- 8$	$- 12$	$- 16$	$- 20$	$- 10$	$- 8$	$- 5$	$- 4$	$a$	$- 20$	$\dots$

（1）通过分析发现，冷柜中的温度 $y$ 是时间 $x$ 的函数．

①当 $4 ⩽ x < 20$ 时，写出一个符合表中数据的函数解析式　　；

②当 $20 ⩽ x < 24$ 时，写出一个符合表中数据的函数解析式　　；

（2） $a$ 的值为　　；

（3）如图，在直角坐标系中，已描出了上表中部分数据对应的点，请描出剩余数据对应的点，并画出当 $4 ⩽ x ⩽ 44$ 时温度 $y$ 随时间 $x$ 变化的函数图象．

今年，我市某中学响应习总书记“足球进校园”的号召，开设了“足球大课间”活动，现需要购进100个某品牌的足球供学生使用．经调查，该品牌足球2015年单价为200元，2017年单价为162元．

（1）求2015年到2017年该品牌足球单价平均每年降低的百分率；

（2）选购期间发现该品牌足球在两个文体用品商场有不同的促销方案：

试问去哪个商场购买足球更优惠？

主题班会课上，王老师出示了如图所示的一幅漫画，经过同学们的一番热议，达成以下四个观点：

$A$ ．放下自我，彼此尊重；

$B$ ．放下利益，彼此平衡；

$C$ ．放下性格，彼此成就；

$D$ ．合理竞争，合作双赢．

要求每人选取其中一个观点写出自己的感悟，根据同学们的选择情况，小明绘制了如图两幅不完整的图表，请根据图表中提供的信息，解答下列问题：

观点	频数	频率
$A$	$a$	0.2
$B$	12	0.24
$C$	8	$b$
$D$	20	0.4

（1）参加本次讨论的学生共有　　人；

（2）表中 $a =$ 　　， $b =$ 　　；

（3）将条形统计图补充完整；

（4）现准备从 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 四个观点中任选两个作为演讲主题，请用列表或画树状图的方法求选中观点 $D$ （合理竞争，合作双赢）的概率．

如图1，抛物线 $y = a x^{2} + bx + c$ 经过平行四边形 $ABCD$ 的顶点 $A (0, 3)$ 、 $B (- 1, 0)$ 、 $D (2, 3)$ ，抛物线与 $x$ 轴的另一交点为 $E$ ．经过点 $E$ 的直线 $l$ 将平行四边形 $ABCD$ 分割为面积相等的两部分，与抛物线交于另一点 $F$ ．点 $P$ 为直线 $l$ 上方抛物线上一动点，设点 $P$ 的横坐标为 $t$ ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）当 $t$ 何值时， $ΔPFE$ 的面积最大？并求最大值的立方根；

（3）是否存在点 $P$ 使 $ΔPAE$ 为直角三角形？若存在，求出 $t$ 的值；若不存在，说明理由．