-优题课

已知抛物线 $y = a {(x - 1)}^{2}$ 过点 $(3, 1)$ ， $D$ 为抛物线的顶点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点 $B$ 、 $C$ 均在抛物线上，其中点 $B (0, \frac{1}{4})$ ，且 $∠ BDC = 90 °$ ，求点 $C$ 的坐标；

（3）如图，直线 $y = kx + 4 - k$ 与抛物线交于 $P$ 、 $Q$ 两点．

①求证： $∠ PDQ = 90 °$ ；

②求 $ΔPDQ$ 面积的最小值．

某年5月，我国南方某省 $A$ 、 $B$ 两市遭受严重洪涝灾害，1.5万人被迫转移，邻近县市 $C$ 、 $D$ 获知 $A$ 、 $B$ 两市分别急需救灾物资200吨和300吨的消息后，决定调运物资支援灾区．已知 $C$ 市有救灾物资240吨， $D$ 市有救灾物资260吨，现将这些救灾物资全部调往 $A$ 、 $B$ 两市．已知从 $C$ 市运往 $A$ 、 $B$ 两市的费用分别为每吨20元和25元，从 $D$ 市运往 $A$ 、 $B$ 两市的费用别为每吨15元和30元，设从 $D$ 市运往 $B$ 市的救灾物资为 $x$ 吨．

（1）请填写下表

	$A$ （吨）	$B$ （吨）	合计（吨）
$C$ （吨）			240
$D$ （吨）		$x$	260
总计（吨）	200	300	500

（2）设 $C$ 、 $D$ 两市的总运费为 $w$ 元，求 $w$ 与 $x$ 之间的函数关系式，并写出自变量 $x$ 的取值范围；

（3）经过抢修，从 $D$ 市到 $B$ 市的路况得到了改善，缩短了运输时间，运费每吨减少 $m$ 元 $(m > 0)$ ，其余路线运费不变．若 $C$ 、 $D$ 两市的总运费的最小值不小于10320元，求 $m$ 的取值范围．

已知关于 $x$ 的方程 $x^{2} - 2 x + m = 0$ 有两个不相等的实数根 $x_{1}$ 、 $x_{2}$

（1）求实数 $m$ 的取值范围；

（2）若 $x_{1} - x_{2} = 2$ ，求实数 $m$ 的值．

解不等式组 $\{\begin{matrix} \frac{1}{2} (x + 1) ⩽ 2 \\ \frac{x + 2}{2} ⩾ \frac{x + 3}{3} \end{matrix}$ ，并求出不等式组的整数解之和．

先化简，再求值： $\frac{x^{2} - 1}{x^{3}} \div \frac{x + 1}{x}$ ．其中 $x = \sin 60 °$ ．