如图，在中，AB是的直径，与AC交于点D，，求的度数；-优题课

张老师在一次“探究性学习”课中，设计了如下数表.

（1）请你分别观察 $a, b, c$ 与 $n$ 之间的关系，并用含自然数 $n (n > 1)$ 的代数式表示: $a =$ _________， $b =$ _________， $c =$ _________.

（2）猜想：以 $a, b, c$ 为边的三角形是否为直角三角形?并证明你的猜想.

恩施州自然风光无限，特别是以“雄、奇、秀、幽、险”著称于世.著名的恩施大峡谷 $(A)$ 和世界级自然保护区星斗山（B）位于笔直的沪渝高速公路 $X$ 同侧， $AB = 50 km, A, B$ 到直线 $X$ 的距离分别为 $10 km$ 和 $40 km$ ，要在沪渝高速公路旁修建一服务区 $P$ ，向 $A, B$ 两景区运送游客.小民设计了两种方案.图①是方案一的示意图（ $AP$ 与直线 $X$ 垂直，垂足为 $P), P$ 到 $A, B$ 的距离之和 $S_{1} = PA + PB$ ；图②是方案二的示意图（点 $A$ 关于直线 $X$ 的对称点是 $A^{'}$ ，连接 $B A^{'}$ 交直线 $X$ 于点 $P), P$ 到 $A, B$ 的距离之和 $S_{2} = PA + PB$ .

（1）求 $S_{1}, S_{2}$ ，并比较它们的大小；

（2）请你说明 $S_{2} = PA + PB$ 的值为最小；

（3）拟建的恩施到张家界高速公路 $y$ 与沪渝高速公路垂直，建立如图③所示的直角坐标系， $B$ 到直线 $y$ 的距离为 $30 km$ ，请你在 $x$ 旁和 $y$ 旁各修建一服务区 $P, Q$ ，使 $P, A, B, Q$ 组成的四边形的周长最小，并求出这个最小值.

如图， $△ ABC$ 中， $AB = AC = 2, BC$ 边上有 $100$ 个不同点， $P_{1}, P_{2}, P_{3} \dots, P_{100}$ ，记 $m_{i} = A P_{i}^{2} + P_{i} B \cdot P_{i} C (i = 1, 2, \dots, 100)$ ，求 $m_{1} + m_{2} + \dots + m_{100}$ 的值.

如图。（1）如图①以 $△ ABC$ 的边 $AB, AC$ 为边分别向外作正方形 $ABDE$ 和正方形 $ACFG$ ，连接 $EG$ ，试判断 $△ ABC$ 与 $△ AEG$ 面积之间的关系，并说明理由.

（2）园林小路，曲径通幽，如图②所示。小路由白色的正方形大理石和黑色的三角形大理石铺成.已知中间的所有正方形的面积之和是 $a m^{2}$ ，内圈的所有三角形的面积之和是 $b m^{2}$ ，这条小路一共占地多少 $m^{2}$ ?

如图， $A, B, C$ 三个村庄在同一条东西方向的公路沿线上， $AB = 2 km$ ， $BC = 3 km$ ，在 $B$ 村的正北方有一个 $D$ 村，测得 $∠ ADC = 45 °$ ，今将 $ADC$ 区域规划为开发区，除其中 $4 k m^{2}$ 的水塘外，均作为建筑及绿化用地，试求这个开发区的建筑及绿化用地的面积是多少?