计算（每小题4分，共8分）（1）（2）-优题课

已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} + (2 m + 1) x + m^{2} - 2 = 0$ ．

（1）若该方程有两个实数根，求 $m$ 的最小整数值；

（2）若方程的两个实数根为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，且 ${(x_{1} - x_{2})}^{2} + m^{2} = 21$ ，求 $m$ 的值．

在2018年“新技术支持未来教育”的教师培训活动中，会议就“面向未来的学校教育、家庭教育及实践应用演示”等问题进行了互动交流，记者随机采访了部分参会教师，对他们发言的次数进行了统计，并绘制了不完整的统计表和条形统计图．

组别	发言次数 $n$	百分比
$A$	$0 ⩽ n < 3$	$10 %$
$B$	$3 ⩽ n < 6$	$20 %$
$C$	$6 ⩽ n < 9$	$25 %$
$D$	$9 ⩽ n < 12$	$30 %$
$E$	$12 ⩽ n < 15$	$10 %$
$F$	$15 ⩽ n < 18$	$m %$

请你根据所给的相关信息，解答下列问题：

（1）本次共随机采访了　　名教师， $m =$ 　　；

（2）补全条形统计图；

（3）已知受访的教师中， $E$ 组只有2名女教师， $F$ 组恰有1名男教师，现要从 $E$ 组、 $F$ 组中分别选派1名教师写总结报告，请用列表法或画树状图的方法，求所选派的两名教师恰好是1男1女的概率．

化简： $\frac{4 a + 4 b}{5 ab} \cdot \frac{15 a^{2} b}{a^{2} - b^{2}}$ ．

抛物线 $L : y = - x^{2} + bx + c$ 经过点 $A (0, 1)$ ，与它的对称轴直线 $x = 1$ 交于点 $B$ ．

（1）直接写出抛物线 $L$ 的解析式；

（2）如图1，过定点的直线 $y = kx - k + 4 (k < 0)$ 与抛物线 $L$ 交于点 $M$ 、 $N$ ．若 $ΔBMN$ 的面积等于1，求 $k$ 的值；

（3）如图2，将抛物线 $L$ 向上平移 $m (m > 0)$ 个单位长度得到抛物线 $L_{1}$ ，抛物线 $L_{1}$ 与 $y$ 轴交于点 $C$ ，过点 $C$ 作 $y$ 轴的垂线交抛物线 $L_{1}$ 于另一点 $D$ ． $F$ 为抛物线 $L_{1}$ 的对称轴与 $x$ 轴的交点， $P$ 为线段 $OC$ 上一点．若 $ΔPCD$ 与 $ΔPOF$ 相似，并且符合条件的点 $P$ 恰有2个，求 $m$ 的值及相应点 $P$ 的坐标．

已知点 $A (a, m)$ 在双曲线 $y = \frac{8}{x}$ 上且 $m < 0$ ，过点 $A$ 作 $x$ 轴的垂线，垂足为 $B$ ．

（1）如图1，当 $a = - 2$ 时， $P (t, 0)$ 是 $x$ 轴上的动点，将点 $B$ 绕点 $P$ 顺时针旋转 $90 °$ 至点 $C$ ．

①若 $t = 1$ ，直接写出点 $C$ 的坐标；

②若双曲线 $y = \frac{8}{x}$ 经过点 $C$ ，求 $t$ 的值．

（2）如图2，将图1中的双曲线 $y = \frac{8}{x} (x > 0)$ 沿 $y$ 轴折叠得到双曲线 $y = - \frac{8}{x} (x < 0)$ ，将线段 $OA$ 绕点 $O$ 旋转，点 $A$ 刚好落在双曲线 $y = - \frac{8}{x} (x < 0)$ 上的点 $D (d, n)$ 处，求 $m$ 和 $n$ 的数量关系．